Свойства экспоненциальной функции

Лемма

Если аналитическая функция удовлетворяет уравнению при условии , то для нее справедливо соотношение .

Доказательство

Непосредственной проверкой устанавливаем, что это равенство выполняется при . Так как функция - аналитическая, то левую и правую части равенства можно разложить в степенные ряды по переменным в окрестности точки . Условием выполнения доказываемого соотношения при произвольных значениях будет равенство всех соответствующих коэффициентов рядов. Но так как эти коэффициенты выражаются через частные производные от левой и правой частей при , приходим к равенству

при

Докажем справедливость этого равенства. Найдем частные производные по и для левой и правой частей

Аналогично

Далее

Таким образом, частные производные от левой части совпадают с самой функцией. То же самое справедливо и для правой части, что доказывает лемму.

Теорема

Для экспоненциальной функции справедлива формула .

Доказательство

Экспоненциальная функция удовлетворяет условиям леммы:

откуда следует утверждение теоремы.

Следствие

Пусть , тогда