Лекция 9 Ряд Лорана

Пусть функция f(z) аналитична в кольце и непрерывна на границе.

По теореме Коши: или

Знак минус появляется из-за изменения направления обхода.

Совершим предельный переход:

Далее

так как . Далее найдем

где

Такой ряд можно почленно интегрировать, так как он равномерно сходящийся.

Найдем второе слагаемое

Пусть m= - n, тогда n= - m:

Так как функция голоморфна в кольце, ограниченном контурами L и C, то по теореме Коши:

то есть эти интегралы равны между собой и равны интегралу по любому замкнутому непересекающемуся контуру, лежащему в области аналитичности подынтегральной функции. Обозначим

Второе слагаемое будет иметь такое разложение:

Подставим всё это в формулу для , поменяв индекс m на n:

- ряд Лорана.

Часть ряда Лорана (правильная) – обычный степенной ряд, к которому применима теорема Абеля. Следовательно, ряд сходится в круге . Вторая часть (главная) - также степенной ряд, равномерно сходящийся вне круга . Таким образом, ряд Лорана равномерно сходится в кольце .