Лекция 9 Ряд Лорана
![]() |
Пусть функция f(z) аналитична в кольце и непрерывна на границе.



По теореме Коши: или
Знак минус появляется из-за изменения направления обхода.
Совершим предельный переход:
Далее
так как . Далее найдем
где
Такой ряд можно почленно интегрировать, так как он равномерно сходящийся.
Однако в данном случае коэффициенты
Найдем второе слагаемое
Пусть m= - n, тогда n= - m:
Так как функция голоморфна в кольце, ограниченном контурами L и C, то по теореме Коши:
то есть эти интегралы равны между собой и равны интегралу по любому замкнутому непересекающемуся контуру, лежащему в области аналитичности подынтегральной функции. Обозначим
Второе слагаемое будет иметь такое разложение:
Подставим всё это в формулу для , поменяв индекс m на n:
- ряд Лорана.
Часть ряда Лорана (правильная) – обычный степенной ряд, к которому применима теорема Абеля. Следовательно, ряд сходится в круге
. Вторая часть
(главная) - также степенной ряд, равномерно сходящийся вне круга
. Таким образом, ряд Лорана равномерно сходится в кольце
.
Еще по теме Лекция 9 Ряд Лорана:
- Часть 1. Структурные и коммуникативные свойства языка. Культура речи. Речевое общение
- Предикативная осложненность предложения
- Пункт 3. Проверка марксизма практикой
- ЧТО ТАКОЕ ПОЭЗИЯ?
- в СТРАНЕ СЕРЬЕЗНЫХ ЧУДАКОВ
- §3. Хайдеггер и латиноамериканская философия. Восприятия философии Хайдеггера в Латинской Америке
- ТАРО и герметизм
- СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Лекция 9 Ряд Лорана
- Лекция 10 Особые точки аналитических функций
- Особые точки функций комплексного переменного
- Вычисление вычетов