<<
>>

Лекция 9 Ряд Лорана

Пусть функция f(z) аналитична в кольце и непрерывна на границе.

Точка z – внутренняя точка кольца. Проведем разрезы как показано на втором рисунке. В результате область аналитичности функции становится односвязной, ограниченной контуром Найдём интеграл: .

По теореме Коши: или

Знак минус появляется из-за изменения направления обхода.

Совершим предельный переход:

Далее

так как . Далее найдем

где

Такой ряд можно почленно интегрировать, так как он равномерно сходящийся.

Однако в данном случае коэффициенты не являются коэффициентами ряда Тейлора. Таким образом,

Найдем второе слагаемое

Пусть m= - n, тогда n= - m:

Так как функция голоморфна в кольце, ограниченном контурами L и C, то по теореме Коши:

то есть эти интегралы равны между собой и равны интегралу по любому замкнутому непересекающемуся контуру, лежащему в области аналитичности подынтегральной функции. Обозначим

Второе слагаемое будет иметь такое разложение:

Подставим всё это в формулу для , поменяв индекс m на n:

- ряд Лорана.

Часть ряда Лорана (правильная) – обычный степенной ряд, к которому применима теорема Абеля. Следовательно, ряд сходится в круге . Вторая часть (главная) - также степенной ряд, равномерно сходящийся вне круга . Таким образом, ряд Лорана равномерно сходится в кольце .

<< | >>
Источник: И.М. Лавит. Теория функций комплексного переменного. 2001

Еще по теме Лекция 9 Ряд Лорана:

  1. Часть 1. Структурные и коммуникативные свойства языка. Культура речи. Речевое общение
  2. Предикативная осложненность предложения
  3. Пункт 3. Проверка марксизма практикой
  4. ЧТО ТАКОЕ ПОЭЗИЯ?
  5. в СТРАНЕ СЕРЬЕЗНЫХ ЧУДАКОВ
  6. §3. Хайдеггер и латиноамериканская философия. Восприятия философии Хайдеггера в Латинской Америке
  7. ТАРО и герметизм
  8. СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
  9. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
  10. Лекция 9 Ряд Лорана
  11. Лекция 10 Особые точки аналитических функций
  12. Особые точки функций комплексного переменного
  13. Вычисление вычетов