Лекция 10 Особые точки аналитических функций

Если функция в точке а не является аналитической, то эта точка называется особой. Пусть в окрестности точки а функция f(z) является однозначной и голоморфной.

Изучим поведение функции при стремлении аргумента к особой точке

если b – конечное число, то а – устранимая особая точка. Если при этом функция f(z) не определена в точке а, то ее можно доопределить: f(a)=b.

Если , то особая точка называется полюсом.

Если предел не существует, то особая точка называется существенно особой точкой.

Пусть . Запишем часть ряда Лорана:

При все члены ряда с стремятся к нулю, а с - к бесконечности. Поэтому для того чтобы особая точка была устранимой необходимо, чтобы .

Пусть число слагаемых с отрицательными индексами конечно.

При - полюс. .

Число m называется порядком полюса.

Если разложение функции в ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых с отрицательными n, то точка z=a – существенно особая точка.

Вычеты

Пусть f(z) – функция, аналитическая в области D, за исключением точки z=a.

Найдём интеграл: .

Е – кольцо, в котором функция f(z) аналитична. Область Е – двусвязная. По теореме Коши для многосвязных областей

где - произвольный контур, окружающий точку а и лежащий внутри контура С. Пусть - окружность радиуса R.

Пусть , тогда: .

Выполним преобразования:

Возможны два случая

1)

2)

Таким образом,

Получили формулу:

- вычет функции в особой точке z=a.

Вычетом аналитической функции в изолированной особой точке называется деленный на интеграл по произвольному замкнутому контуру, окружающему эту точку и лежащему в области аналитичности функции f(z).

Пусть особая точка – полюс порядка n. Разложение функции f(z) имеет вид:

Умножим левую и правую части на .

Продифференцируем это выражение n-1 раз:

откуда следует, что