<<
>>

Лекция 10 Особые точки аналитических функций

Если функция в точке а не является аналитической, то эта точка называется особой. Пусть в окрестности точки а функция f(z) является однозначной и голоморфной.

В этом случае особая точка называется изолированной особой точкой.

Изучим поведение функции при стремлении аргумента к особой точке

если b – конечное число, то а – устранимая особая точка. Если при этом функция f(z) не определена в точке а, то ее можно доопределить: f(a)=b.

Если , то особая точка называется полюсом.

Если предел не существует, то особая точка называется существенно особой точкой.

Пусть . Запишем часть ряда Лорана:

При все члены ряда с стремятся к нулю, а с - к бесконечности. Поэтому для того чтобы особая точка была устранимой необходимо, чтобы .

Пусть число слагаемых с отрицательными индексами конечно.

При - полюс. .

Число m называется порядком полюса.

Если разложение функции в ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых с отрицательными n, то точка z=a – существенно особая точка.

Вычеты

Пусть f(z) – функция, аналитическая в области D, за исключением точки z=a.

Найдём интеграл: .

Е – кольцо, в котором функция f(z) аналитична. Область Е – двусвязная. По теореме Коши для многосвязных областей

где - произвольный контур, окружающий точку а и лежащий внутри контура С. Пусть - окружность радиуса R.

Пусть , тогда: .

Выполним преобразования:

Возможны два случая

1)

2)

Таким образом,

Получили формулу:

- вычет функции в особой точке z=a.

Вычетом аналитической функции в изолированной особой точке называется деленный на интеграл по произвольному замкнутому контуру, окружающему эту точку и лежащему в области аналитичности функции f(z).

Пусть особая точка – полюс порядка n. Разложение функции f(z) имеет вид:

Умножим левую и правую части на .

Продифференцируем это выражение n-1 раз:

откуда следует, что

<< | >>
Источник: И.М. Лавит. Теория функций комплексного переменного. 2001

Еще по теме Лекция 10 Особые точки аналитических функций:

  1. «Public Relations» как функция управления. Создание службы PR в органах государственной власти и муниципального управления.
  2. СООТНОШЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ И РЕГУЛЯТИВНОЙ ФУНКЦИИ ФИЛОСОФСКИХ ПРИНЦИПОВ в ФОРМИРОВАНИИ НОВОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
  3. ПРОБЛЕМА СООТНОШЕНИЯ МЫШЛЕНИЯ И ЯЗЫКА В ТРУДАХ Г. В. ЛЕЙБНИЦА, И. КАНТА, Ф. В. ШЕЛЛИНГА И Г. ФРЕГЕ 
  4. ФИЛОСОФИЯ И ЕЕ ОТНОШЕНИЕ И КАРДИНАЛЬНЫМ ВОПРОСАМ ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙ НАУКИ 
  5. ДЕСКРИПЦИЯ И МЕТОД. ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ ИЗДАНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ И ИДЕИ ЧИСТОЙ ФЕНОМЕНОЛОГИИ И ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ ФИЛОСОФИИ
  6. Ответственность позиции и целостность теории.
  7. РАЗВИТИЕ УЧЕНИЯ О ХУДОЖЕСТВЕННОЙ РЕЧИ В СОВЕТСКУЮ ЭПОХУ
  8. § 1. Общая характеристика основных видов права собственности
  9. РАЗДЕЛ V МОРФОЛОГИЯ СОВРЕМЕННОГО РУССКОГО ЯЗЫКА
  10. Знание как сознательный феномен Катречко С.Л.
  11. Введение
  12. Сущностные социальные функции
  13. Начало и середина 19 века.
  14. Лекция 10 Особые точки аналитических функций
  15. Эйнар Хауген НАПРАВЛЕНИЯ В СОВРЕМЕННОМ ЯЗЫКОЗНАНИИ
  16. X. Спанг-Ханссен ГЛОССЕМАТИКА[258]
  17. Введение
  18. Хронология (календарь) событий по охране природы*
  19. ВВЕДЕНИЕ