§ 37. Направление выпуклости графика функции,точки перегиба

Крипйіт графика у — f{x) называется вогнутой, т.ег обращена выпуклостью вниз на интервале если все точки этой кривой лежат выше любой её касательной на этом интервале.

Хеор&ма 18.

Доказательство. Проведём касательную у в произвольной точке аго некоторого интервала. Первая часть теоремы будет доказана, если мы установим, что все точки кривой на рассматриваемом интервале лежат ниже этой касательной, т. е. у — у < 0.

Уравнение касательной в точке Яо кривой у = f{x) имеет анд

y-f(xa) « или у = f(x0) -\-f{xQ){x-x0)t

тогда

У - У = Я*) - /Ы - Г- *о). По теореме Лагранжа имеем

f(x)-f{xQ) = f'(x,)(x-x0), где X! лежит между X и Хц. Учитывая это, получим

V - У = [/'(tfi) - У'ЫК* - = - -

9 Ю.И, Клименко

258 Исследование функций с помощью производных [ Гл. V

где хч лежит между яті и Здесь снова применена теорема Лагранжа к разности /'(^j) — f'(xо).

Рассмотрим теперь случайt когда х > XQ, Тогда ід < :сі < і и х - - хо > О, - яо > 0П a J"(x) < 0 по условию. Поэтому у - у < 0. При х < XQ имеем х — а.'о < О, Х\ — XQ <0, f"(x) < О, тогда у — у <

Q. Таким образом, мы доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой, каковы бы ни были значения х и QCQ. Первая часть теоремы доказана, аналогичным образом доказывается и её вторая часть.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точной перегиба кривой.

Теорема 19. Если в некоторой точке графика функции у — f{x) вторая производная равна нулю или не существует и при переходе через эту точку она меняет знак, то эта точка кривой есть точка пере-гиба.

Доказательство.

Пример. Найти точки перегиба и определить интервалы выпукло-сти и вогнутости кривых:

Я®) - - + 2) у -

Решение. I) Находим вторую производную: f'(x) =- х2 — 2xt f"{x) — 2х — 2. Вторая производная существует всюду и при х = 1 равна нулю, причём при х < 1 f"(x) < 0, а при х > 1 f,J(x) > 0, т. е. вторая производная меняет знак при переходе через точку х. следовательно,

при яг = 1 на кривой имеется точка перегиба, ее координаты —^ .

Таким образом, при —со < х < 1 кривая выпукла, а при 1 < х < оо — аогнута,

Находим вторую произис&ную функции у — хъ:

j, г

У - Iх 3> У ~3'

Вторая производная нигде не обращается в куль, но при т — 0 она ие существует (у" ¦= ±оо), причём при к0 и">0, а при х > 0 у" <

0, следовательно, точка х = 0 — точка перегиба и при х < 0 кривая вогнута, а при г > О —- выпукла.

Замечания.

Если функция /(і) выпукла вверх (вниз), то функция С f{x), где О — постоянная выпукла вверх (вниз), если С > 0, и выпукла вниз (вверх) при С < 0,

Выпуклая вниз (вверх) на отрезке [а,Ь] функция /(х), отличная от постоянной, не может достигать наибольшего (наименьшего) значения во внутренней точке этого отрезка.

Сумма двух выпуклых вверх (вниз) на одном и том же промежутке функций также является выпуклой вверх (вниз) функцией.

§ 38. Асимптоты кривых

Определение, Прямая = kx + Ь называется асимптотой кривой У — f(x)i если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении переменной точки н бесконечность.

Различают асимптоты вертикальные (параллельные оси ординат) и наклонные (не параллельные оси ординат).

Вертикальные асимптоты. Из определения следует, что если lmi f(x) « ос, или lim /(яг) в оо, или lim f[x) — оо, то прямая х =

jt—tя

= а есть асимптота графика функции у =* /Ог)і и обратно, если прямая х = а есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств. Таким образом, для того, чтобы нанти вертикальные асимптоты, нужно найти такие значении х = а, при приближении к которым функция у f{x) стремится к бесконечности.

Примеры.

1 Кривая у = lna; имеет вертикальную асимптоту х — 0, так как у —* —оо при х —» 0 + 0 (см, § 12).

Кривая у — kg,*! имеет бесконечно много вертикальных асимптот

¦ -±|, (см. § 12),

2н Наклонные асимптоты. Пусть кривая у = /(ят) имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет оид у* — кх + b. Тогда из определения асимптоты следует, что lim [у —у*) = liin {fix) —

F-f±3fl З"—»±DO

— kx - 6) — 0. Из этого условия нужно яа:йтн ft и Ь. Диалогичную задачу мы решили.d § 1S, Повторяя рассуждения, получим, что

fc = Um lim

аз з-^ісо 1

Итак, если прямая у+ = есть асимптота, то к и Ъ находятся

по вышенаписанным формулам. Обратно, если существуют вышеприведённые пределы, то прямая у' =кх±Ь есть асимптота. Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая наклонных асимптот не имеет.

Отметим следующее

Выписанные пределы могут быть различными прн х —> +оо и при х —» -оо (см, ниже),

Если выражение у — у* = f(x) — kx — Ь при х —> =Ьоо с некоторого х сохраняет знак гтлюс, то переменная точка графика функции у = j(x) приближается к асимптоте сверху если знак минус — снизу. Если зник не сохраняется, то точка колеблется около асимптоты.

Пример. Найти наклонные асимптоты графиков функций:

2) у — + 2:

4) у = + 24а: - 18; 5) у =

V — 2

Решение. I) Найдём коэффициенты к и Ь\

к ¦ Um

b= Um (f(x) - kx) в lim

ІГ—¦ ЭС—*±DO

Е—*±ТО

-- ІЇТП

ї« (ЇЧг^3 + ф3 + 2)г'а + '

±оо наклонную

+ 2) 2, а то функции у =

Таким образом, график данной функции имеет при х асимптоту у х (см. рис. 60).

О, Ь = lim

2) Так как к = ЗІггі =

1

-и — ОО

ас с

а:-»-Нэй \ х/

при х —* —оо & ^ lim I -е + - j = lim

<'-СО \е X/ X—

tc-

~ хе * +2 имеет горизонтальную асимптоту только при х —» +оо, у = = 2 (см. рис. 62),

3) Функция у =

— чётная и её график симметричен от-

|х| + х

носительно оси ординат.

При х

данная функция имеет вид у =

-foo

X2

X + V

тогда к = = — 1, Зиа-

lim , .

^1,6= Нт

Ї-++ЄК? 4-1)

чит прямая у = х — I является асимптотой графика при х —» +со. В силу отмеченной симметрии графика относительно оси Оу его левая ветвь имеет при —» —оо асимптоту у = — і — 1. Вертикальных асимптот рассмотренные графики не имеют, поскольку функции непрерывны. Графики функций представлены на рис. 60-62,

Напомним, что график функции у — |/{И)| может быть построен в следующем порядке;

а) строят график функции у = f{x) при х > 0 (см, рис. 63, 66);

б) строят кривую графика, симметричную построенной относительно оси Оу (мысленно согнуть рисунок по оси Оу, тогда построенный график при X ^ 0 отпечатается при х ^ 0) (см. рис. 64, 67);

в) Участки графика, расположенные ниже оси Or строят симметрично выше оси Ох (мысленно согнуть рисунок по оси Oih тогда построенный график ниже оси Ох отпечатается выше оси Ох) (см. рис. 65, 68).

4) к = Um і fyz? - <ЬТ+І4ж - 18 =

® -Ы у

= to ?/i ~ 1 + т - т = 1, у X СС X

Pvz. 62

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников

Общая схема исследования функции и построения её графика 265 Ь = lim ( =р 2аА = lim (2hJ 2х) = О.

J

График данной функции имеет две наклонные асимптоты у ~2х при х —+ Ч-оо — 2л: при х —> — оо И две вертикальные х = i\/2j так

как у (ifV2 ) = +оо (см. рис, 70),