Исследование функции и построение графика

График функции , заданной на множестве , т.е.

Для построения графики функции выясняют особенности поведения функции. Существенную роль при этом играют характерные точки: концевые точки промежутков задания функции, точки разрыва, стационарные точки и точки недифференцируемости функции и ее производной и т.д. По этим точкам выделяются участки однообразного поведения функции, а именно: промежутки ее непрерывности; промежутки, на которых и сохраняют знак, что позволяет изучить характер монотонности функции и направление ее выпуклости.

Построение графика функции может быть осуществлено по следующему плану.

Если функция задана аналитическими выражениями, то выясняют естественную область определения функции, т.е. множество значений аргумента , при которых имеет смысл.

Если функция периодическая, то находят ее период, т.е. число такое, что , (обычно рассматривают наименьший положительный период). Дальнейшее изучение функции и построение графика проводят для какого-либо отрезка длины , например, для , а затем периодически продолжают.

Для четной функции: , или нечетной: . Исследование проводят на промежутке . Построенный график продолжают на все множество , используя симметричное отражение относительно оси для четной функции и относительно точки ‑ для нечетной функции.

Находят точки разрыва и промежутки, на которых она непрерывна. Выясняют характер точек разрыва. Вычисляют предельные значения функции в граничных точках множества (если таковые имеются). Находят вертикальные асимптоты (в точках бесконечного скачка). Если не ограничено, то вычисляют пределы функции при и . Если , то график имеет горизонтальную левостороннюю асимптоту , если , график имеет горизонтальную правостороннюю асимптоту . Если пределы (или один из пределов) бесконечны, то график может иметь наклонные (левостороннюю и правостороннюю) асимптоты . Коэффициенты левосторонней асимптоты можно найти по формулам:

.

Аналогично находят коэффициенты правосторонней асимптоты (нужно вычислить пределы при ).

Вычисляют производную . Находят критические точки функции , т.е. стационарные точки и точки, в которых не существует. Выделяют промежутки, на которых сохраняет знак. Это позволяет исследовать монотонность функции .

Вычисляют вторую производную . Находят критические точки производной . Выделяют промежутки, на которых сохраняет знак, и, следовательно, график функции сохраняет направление выпуклости. Находят точки перегиба, исследуя критические точки производной (т.е. точки, в которых равна нулю или не существует).

Исследуя стационарные точки функции , находят точки локального экстремума и локальные экстремальные значения функции. Для этого можно изучить поведение производной в окрестности стационарной точки или значение в стационарной точке. Изучают точки недифференцируемости функции, выясняя наличие локальных экстремумов в таких точках по поведению производной в их окрестностях.

Опираясь на характерные точки функции, строят таблицу, в которую вносят все особенности функции.

На координатную плоскость в выбранном масштабе наносят характерные точки функции, асимптоты и строят график, руководствуясь п.1‑6. Если нужно, строят дополнительно несколько точек графика.

Пример 5. Построить график функции .

I. Область определения .

Функция не является периодической, четной, нечетной.

II. Поскольку , то - точка разрыва (точка бесконечного скачка). Прямая является двусторонней вертикальной асимптотой.

Так как при и при , то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных). Учитывая, что

при ,

делаем вывод, что прямая является двусторонней наклонной асимптотой.

III. .

Из уравнения y'(x) = 0 находим стационарные точки: , .

IV. . Точка является стационарной точкой для производной , так как .

V. Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.

x	(-¥, -2)	-2	(-2, 0)	0	(0, 1)	1	(1, +¥)
y'(x)	+	0	-		+	0	+
y''(x)	-	-	-		-	0	+
	возра­стает	лок. макс.	убывает	бесконечный скачок	возрастает
y(x)	выпукла вверх				выпукла вверх	пере­гиб	выпу­кла вниз

VI. На координатной плоскости отмечаем точки локального максимума , перегиба , асимптоты и . Строим схематично график функции с учетом выясненных ранее особенностей ее поведения.