Функции нескольких переменных

Будем рассматривать упорядоченные наборы чисел .

Так, если , то:

,

.

Множество всех таких точек образует -мерное арифметическое пространство . При получаем плоскость. При ‑ обычное 3-х мерное пространство.

Расстоянием между точками и будем называть число

.

При и ‑ это обычное расстояние между точками на плоскости или в пространстве.

Пусть и каждой точке по закону ставится в соответствие число (единственное, определяемое по закону ).

.

Если определена формулами, то областью определения называют множество точек , для которых эти формулы имеют смысл.

Число называют пределом функции в точке , если такое, что . Обозначение:

Функцию называют непрерывной в точке , если .

Для непрерывных функций переменных справедливо большинство теорем, сформулированных для непрерывных функций одной переменной.

В точке дадим переменной точке приращение . При этом функция получит приращение:.

Если при , то непрерывна в точке .

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде:

(1)

где – постоянные (они зависят от ), называемые частными производными. Их обозначают:

.

При практическом вычислении частных производных используют те же правила, что и при вычислении производных функций одной переменной. При этом, вычисляя , все переменные, кроме , воспринимают как постоянные.

Частные производные высших порядков определяют последовательно:

.

Если , то обозначают .

Аналогично определяют и так далее.

Главную часть приращения функции (1)

называют дифференциалом функции и обозначают .

.

Тогда, .

Дифференциалы высших порядков определяют последовательно и т.д.

Полагают .

Для функции двух переменных имеем:

.

.

Аналогично .

Если , то

Если функция имеет в точке непрерывные частные производные до порядка включительно, то ее значение в точке можно представить в виде

,

где .

Эту формулу называют формулой Тейлора.

(Примеры решения задач см. А.С. Гринберг и др. "Математика для менеджера" Практикум, § 20).