<<
>>

Функции нескольких переменных

Будем рассматривать упорядоченные наборы чисел .

Такие наборы называют точками. Точки можно складывать и умножать на число.

Так, если , то:

,

.

Множество всех таких точек образует -мерное арифметическое пространство . При получаем плоскость. При ‑ обычное 3-х мерное пространство.

Расстоянием между точками и будем называть число

.

При и ‑ это обычное расстояние между точками на плоскости или в пространстве.

Пусть и каждой точке по закону ставится в соответствие число (единственное, определяемое по закону ).

Тогда говорят, что на задана функция переменных

.

Если определена формулами, то областью определения называют множество точек , для которых эти формулы имеют смысл.

Число называют пределом функции в точке , если такое, что . Обозначение:

Функцию называют непрерывной в точке , если .

Для непрерывных функций переменных справедливо большинство теорем, сформулированных для непрерывных функций одной переменной.

В точке дадим переменной точке приращение . При этом функция получит приращение:.

Если при , то непрерывна в точке .

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде:

(1)

где – постоянные (они зависят от ), называемые частными производными. Их обозначают:

.

При практическом вычислении частных производных используют те же правила, что и при вычислении производных функций одной переменной. При этом, вычисляя , все переменные, кроме , воспринимают как постоянные.

Частные производные высших порядков определяют последовательно:

.

Если , то обозначают .

Аналогично определяют и так далее.

Главную часть приращения функции (1)

называют дифференциалом функции и обозначают .

Если – независимые переменные, то

.

Тогда, .

Дифференциалы высших порядков определяют последовательно и т.д.

Полагают .

Для функции двух переменных имеем:

.

.

Аналогично .

Если , то

Если функция имеет в точке непрерывные частные производные до порядка включительно, то ее значение в точке можно представить в виде

,

где .

Эту формулу называют формулой Тейлора.

(Примеры решения задач см. А.С. Гринберг и др. "Математика для менеджера" Практикум, § 20).

<< | >>
Источник: Гринберг А.С., Кастрица О.А., Скуратович Е.А.. Высшая математика. Курс лекций. Часть II: Курс лекций. ‑ Мн.:Академия управления при Президенте Республики Беларусь,2003. – 213 с.. 2003

Еще по теме Функции нескольких переменных:

  1. Глава VII. Функции нескольких переменных
  2. § 51. Функции двух переменных, их графическоеизображение
  3. § 53. Экстремум функции нескольких переменных
  4. Глава 4. Функции нескольких переменных.
  5. 4.6. Условный экстремум функции нескольких переменных.
  6. Функции нескольких переменных
  7. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
  8. Экстремум функции нескольких переменных.
  9. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.
  10. Экстремум функции нескольких переменных.
  11. Функции нескольких переменных
  12. Функции рыночного спроса
  13. Производственные функции
  14. Измерение производственной функции
  15. Теория затрат: функции «затраты-выпуск»
  16. Частные производные первого порядка функции нескольких переменных. Условие дифференцируемости функции в точке.
  17. Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия локального условного экстремума функции нескольких переменных.