<<
>>

§39. Общая схема исследования функции и построения её графика

Исследование функции и построение ее графика можно проводить в следующей последовательности,

j. Нахождение области определения функции, выяснение вопроса о её чётности и нечётности, периодичности.

Уточнение поведения функции вблизи точек разрыва, построение вертикальных и наклонных асимптот, если такааые имеются.

Определение точек пересечения кривой с осями координат, отыскание экстремумов и интервалов возрастания и убывании функции.

2xJ - 14х -6

4х2

Отыскание точек перегиба, интераалов еьтуклости и вогнутости графика, нахождение нескольких дополнительных значений функции (для большей точности чертежа на отдельных участках) и окончательное построение графика с учётом проведённого исследования.

Пример 1.

Построить график функции у =

Решение. Ь Поскольку функция представляет собой рациональную дробь, то она определена и непрерывна на бесконечном интервале, кроме точки х — 0, в которой обращается в нуль знаменатель. Так. как /(—х} не равно ни /(a;)t ни —f{x), то график данной функции не симметричен относительно оси Оу, ни относительно начала координат. Очевидно, данная функция не является периодической.

2 Выясним вопрос о существовании асимптот. Так как У 5=5

— оо, то график функции имеет вертикальную асимптоту х = 0. Далее, из существования пределов

№ X

2х - Ьх + 14т- Ь

jt - Ііш

Ііш

I-'itO

4ва

1

= і lim (2

4 1С—f±oo

U 5 Н б \ 1

2xZ - Ьха + І4д;-6

4xJ

Ь = lim \f{x) - -1 = lim L W 2 і і — ±<Х>

Кт"?)-

,. —$Х + 14л; — 6 1 ы — ]tm ~ - lim

Ах Ч Z-*±DO

вытекает, что при х —» +оо и при а; —> -оо график функции имеет

+ 1 5

наклонную асимптоту у — - х—

3, Находим точки пересечения с осями координат: у — 0 при 2хъ - 5л:3 + 14а: — 6=0, Легко видеть, что 2а;3 — Ьх2 + 14л - 6 = 2 (х — ~ \ (г2 — 2л: + 6) = 0.

Так как квадратный трёхчлен имеет комплексные корни, то рас ем а три пае мое уравнение имеет только один

вещественный корень х = так что график функции пересекает ось

Ох в точке . Ось Оу график не пересекает, так как х —

= 0 — вертикальная асимптота. Для нахождения областей возрастания и убывания вычислим первую производную:

У

, _ (2дэ - + 14ж - (д'^^ад3 - 14т - в) _ к' -Ух + Ь =

4 а4 2а:3

2х3

Имея в виду, кроме того, что сама функция и первая производная не существуют при х ~ 0, мы голучаем следующие области сохранения знака у'; (-00,-3), (-3; 0), (0; 1). (1; 2), (2; +оо) или

-3

н-

0+1

- 2 —н

У

+

х

V

Из приведённой диаграммы очевидно, что функция имеет следующие точки экстремума:

максимум при х = —3, причём /(—3) =

максимум при я; = 14 причём /(1} —5/4;

минимум при i = 2t причём /(2) = 9/8.

4, Для нахождения областей сохранения направления выпуклости вычислим вторую производную:

У

" - - 7) - 3xs(s3 - їх + 6) _ 7х -9 _ х- (9/7)

- -5 ~ " — ' 1 і "" '

X

Учитывая, что сама функция и ее производные не существуют в точке j: = 0, получим следующие области сохранения знака второй произ-водной (-оо,0), (0,9/7), (9/7>оо). Составляем диаграмму:

0-7 -- 266

экстремумы функции; у' = е'1* + я - = е'^ (1 - 2х2), у1 =0

при х =¦¦ ± 7^--

1 I

г- HIj = —=г.

V2 yf2

Критическими точками являются xi Строим диаграмму:

й

-л ,

У

—ь-

max

О -h

У

х

mm

1

Отсюда видно, что функция имеет максимум прн х = и мнни- 1

нум при X —

Л'

І-Є-І

л •

Находим точки перегиба и интервалы выпуклости н вогнутости:

у" =2хе-х\2х*-3) Вторая производная обращается в нуль при х = 0, х — .

у" _ "^Vf + о _ l/s

+

+

4-

Л:

Абсциссами точек перегиба являются X = 0, х = ±>/3/2, т.е. график имеет три точки перегиба (0,0), ^у/3/2;

и ^^/3/2; .

Теперь строим график с учётом проведённого

исследования (см, рис. 72), У; з/ я хе "{і 0 Я /3 я V2 Va

1

Пример 3. Построить график функции у — —,

5ж -f- 6

4 iJ Aj- Щ Ці

Решение, Установим область определения заданной функции. Очевидно, функция существует всюду, кроме тех точек, в которых знаменатель обращается в ноль; х1 0=0. Решая это квадратное

уравнение, находим хі = 2, х% = 3. При этих значениях х числитель отличен от нуля, следовательно, при х j- 2 и х —»3 значения функции неограниченно возрастают по абсолютной величине, т.е. з точках х\ = = 2 и х-> = 3 кривая имеет вертикальные асимптоты. Исследуем функцию на симметричность.

Функция называется чётной (график её симметричен относительно оси Ординат), если /[—%) = /(я-), и нечётной {график симметричен относительно начале координат), если f(-x) = -f(x).

В нашем случае

(-*)* -1

Полученное выражение не равно ни f{x), ни -^/(г), т.е. функция не симметрична, и её необходимо исследовать во всех трёх, интервалах (в случас чётности или нечеткости достаточно исследовать и построить график при х ^ 0t при х < 0 график чертится из условия симметрич-ности).

Очевидно, что функция tie является периодической. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

» О

а) с осью Ох. В атом случае у * 0, и из равенства

І ^ + 6

0-1

1 б'

находим х — 1 » х = ±1;

б) с осью Оу. В атом случае х — 0 и тогда у ^ ^

Исследуем функцию на экстремум, для чего найдём критические точки, т.е. те точки, в которых производная или равна нулю, или не существует. Имеем

, = (я* - - 5s+ 6) - (Xі -

у _ +

(й2 - 5а + 6) J -14 ± \/19(і - Ш0 .

_ aж_(а3 - 5х + в) - {х2 - 1)(2д; - 5) _ + lix- 5.

-10

(аг + 6)' у' = 0 при — 5яг + 14дг -5=0, откуда ж1(2 =

7-2JG

7+ 2ч/б „

ад 0,42;

Хі =

Х2 — —— ~ 2,38.

Производная не существует в точках, в которых знаменатель обраща-ется в нуль: (х? — 5,т + б)а =0, т.е.

в тех же точках, в которых не определена исследуемая функция: атц = 2, — 3,

5

Уш\ч ' Д«і) а®

Критические точки Х\, Х2, яз, ха разбивают числовую ось на следующие интервалы эка ко постоянства производной: (^00,Хі). {%,х2), (я*,3), (3, +оо)

Так как знаменатель производной не отрицателен при любых значениях ж. то знак производной в каждом иэ указанных интервалов определяется знаком квадратного трёхчлена в числителе, график которого представлен на рис. 73, Vі 1 4

у — — баг + 1лх — 6 > 0 1 X Рис. 73

Этот [рафик облегчает заполнение следующей таблицы:

л («1.2) 2 Х-2 (дгз.З) 3 (3,-Ьоо) ! у1 — 0 -Г ОО 0 — оо У \ min S тик \ Найдём j/m3n и

= 2(5-2\/б) ад —0,2,

+ 6

Утах — Д^а) - ^ 5 і 2

1 (i±f4)"-.| Ч+і'Л^

К 5 1 )+е = 2(5 + 2\/б) —19,8.

Найдём наклонные асимптоты, если они существуют. Уравнение асимптоты ищем в виде у = кх + Ь, где А; = lim b — lim -

Г—М5 ЛГ X —»ов

Н-Х) = 3 + 4)2 - 2{-х) 4)2 +2х-г.

271

Очевидно что f(~x) не равняется ни Дї), ни -/(я), т.е. несинмет* оична е связи с чем будем проводить исследование на всем интервале определения функции. Функции - непериодическая.

Пересечение с осями координат. ^^^ __

з) С осью Ох; в этом случае^ = 0 иди + 4)а - 8 = 0. Решаем это уравнение: 3 - 2(* 4- 4). Возводим обе части Б куб: 97Ґ г Л}2 = $(х +¦ 413 или, перенося в одну сторону общий множитель (* +4)3 за скобки (а V 4)3№ + 4) - 27]-0. Отсюда з + 4 = 0. 3* + + 5=0; следовательно. ®і = -4, = —. Этими точками область определения функции делится на такие интерпалы знаке постоянства

функции: (—оо; -4); (-4; +ooJ .

Составим таблицу: X (-оо; -4) (-4; -5/8) (-5/8; +оо) У + + —

Между прочим, из данной таблицы можно сделать следующий вывод: так как исследуемая функция непрерывна и в даух смежных интервалах положительна( а з граничной точке х — отій равна нулю, то в этой точке график функции касается оси Ох в функция достигает здесь минимума (в противном случае функция меняла бы знак с плюса на минус),

б) Пересечение с осью Оу, В этом случае х s= 0 и у = - 8 = 3^(^-8 = 6^2 -4) к -0,2

(приближённое вычисление для нанесення соответствующей точки на графи к)

Исследуем функция на экстремум.

Находим производную: у' - [з(* + 4)1]'- (2хУ - (8)' -3 - § (» + 4)-1 -2 - - 2.

2

Критические точки: х + 4 = 0 (производная не существует) и -д J =

VI + 4

і;» 2 {производная равна нулю), т.е. х — —4h ^F+4 — 1, или х + 4 » 1, х =s —3. Этими значениями область определения функции разбивается на следующие интервалы знакопостоянства производной: (-оо; —4), (-4; 3), (-3; оо). Составим таблицу; і (-со; -4) —4 (-4; -3) -3 (-3; ОО) V — оо + 0 — У \ ПГ1ІП у* шах ч Для определения знака производной достаточно в соответствующем интервале определить знач при каком-либо конкретном значении х~

Так, п интервале —4) возьмём х = — 5 и подставим в выражение

для производной: 5) = ¦ ^ ^ — 2 — — 2 -2 < 0. Аналогично а

других интервалах,

Найдём минимальное и максимальное значения функции:

у™* = /Ы) - 3 У(-4+4)> - 2(-4) - 8 - 0, что подтверждает сделанный ранее вывод;

= /С-з) - з + " 2(^3} -8 = 1,

Составим уравнение асимптот, если они существуют. Уравнение ищем в Еінде у = Аз + Ьг где

/М =

X

fc = lim

lim

+ - 2x ~8

a-

г з j

L +

2x - 8

—2т

=S ІІШ Z—tjroo

« lim — = -2, x—і ± X

b - lim [/(ar) -Ы = lim Гз Мя T 4)2 - 2a: - S - (-2)xl s

— lim

= CO.

+ -8

Следовательно, асимптоты не существуют.

Вычислим ешё значения при х — 5 и і — 4' для уточненного построения графика:

/(-5) - З Щ-5 + 4)* -2(-5)~8 =

/(4) = -2*4-8^3 - 16 = -4

(указанные точки эзялн из условия простоты вычислении кубического корня). По полученным данным строим график (см. рис. 75).

Пример 5. Построить график функции у — —^——-

X — 1

Решение. Область определения функцнн — вся числовая оеь„ кроме точек, в которых знаменатель обращается в ноль: Xі — 1 = 0} или х іі. В этих точках числитель функции не равен нулю, а потому а них имеются вертикальные аскмптогы: х = —1, х — 1.

Итак, область определения есть объединение интервалов:

(-оо; —X) U (—1; 1) U (1;

Функция непериодическая (отношение двух многочленов).

Функция нечётная, так как

j .

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат 0(0, 0), а потому достаточно провести исследование для х ^ ^ О, а при а; < 0 построить график из условия симметричности. Итак, рассматриваемая область [0,1) U (1, +оо). При х = 0 будет у = О, т. е. кривая проходит через начало координат. Найдём точки пересечения

с осью Ол, В этом случае у = 0, или j— ¦ = 0, т.е. х{х2 — 4) = 0;

я? —" 1

х\ = О, Х2 2 {яз = —2 не входит в рассматриваемую область х ^ 0). Имеем следующие интервалы энакопостоянства функции; |OhI), (1,2), (2,+оо). Составим таблицу знаков функции: X 0 [0,1) 1 (1,2} 2 У 0 4- — 0 + Исследуем на экстремумы:

Г (л;3 - Лх)'{х2 - 1) - (i3 - 4в}(** - I)'

у 1^тf

(З* - 4)(я3 - 1) - 2х(х3 - Ах) _ хА + х2 + 4

Критические точки находим из рааенств: х* 4- х2 -f 4 = Ог х2 — 1 = 0. Одна критическая точка иэ области х ^ 0 Xi = 1, где производная, как и заданная функция, равна бесконечности. Для решения биквадратного уравнения х* + х2 4- 4 = 0 полагаем х2 - t. Тогда t2 + і 4- 4 - 0, Решая

274

его, имеем

Л ± \f\ - 16

Действительных корней чет. Следовательно, при любом х ХА + Xі + + 4 > 0Г а потому всюду у{ > 0, тг е. функция возрастает. Уравнении асимптот ищем в виде у = kx +

т

lim = 11ш

я

ї—trto

— 4s ,,.

Г Л

— Ax

4:e — x + x

= lim

= 0.

X

b - lim [/(x) - kx] = lint

T-fM IT—KM

Итак, ураганен не асимптоты у — х.

Определим, под каким углом крквая пересекает ось Ох. Угол между

кривой и осью Ох определяется кок угол между гсасательгюй к кривой

в точке пересечения с осью Ox, а тангенс угла наклона касательной

it оси Ох есть значение производной в точке касания: tg а = у'(яо).

При х = 0 имеем =s = 4 > 1 = tg(Tr/4)_ Следовательно* кривая

подходит к началу координат значительно круче, чем асимптота у = х

с угловым коэффициентом к === 1.

+ +48 8

При х — 2 у' = rj——- = -,т. е. tga = - > 1. Кривая и в точке

З О v

х — 2 пересекает ось Ох под углом, значительно большим 45° Определим поведение функции при х —*¦ Ч-оо:

ьа

X3 - Ах

lim І—1® X" — I

- — Jim.

— Піп х = +оо.

Г—* Ой

X

С-Й

+оо, неограничен но приближаясь к асимп-

Итак, при х тате у — х.

На основании полученных данных строим график (см. рис. 76).

1, Проводим вертикальную асимптоту х ~ +1 (пунктир).

2н Наносим точки пересечения с осями координат (я — 0, л; — ?).

Наносим критические точки (х = 1).

Проводим асимптоту у = х (пунктир).

5 Проводим касательную к кривой в точке х = 0 (точечная прямая, tg Oil =4).

Проводим касательную в точке х — 2(tgo2 = 8/3).

Проводим плавную кривую при х ^ 0.

8; Проводим симметричную относительно начала координат кривую при і < 0 (f{~x) = -f(x)).

Замечание. Точки Л и В поЕіадобились для точного построения углов Q-i и а2, тангенс которых соответственно равен 4 и S/3.

+00 у

Пример 6, Построить график функции у — (х— 1)е

275

откуда J — х2 f з: = 0 или х1 — х — 1 = 0. Рєіиаем квадратное уравнение:

=

1- VS ,

І ± Vl^-Л _

2 ~ 2 '

а-0,6; із = м 1Д

®i =

)

2 * 2 Имеем три интервала эк а ко постоянства производной:

+oq

оо;

]-V5j. ^WE _ 1+_ /1 н- л/&

Составляем таблицу

7 І-л/5 1 + 75^

I а '

1+7Г

;

ЕЕЭ

о

о

V

\

\

г

min

max

Ь'пші

= « -IVs-

2

Поэтому jf,,,!!, та —

Точки перегиба:

Точки перегиба характеризуются условием у" — 0 (или V' не существует). В нашем случае это условие принимает вид: х - х — - Зї -І-1 =0, Обозначим д(х) = хъ - х2 - Зх + 1. Непосредственной подстановкой убеждаемся» что ?(-2) = —5; 1) — % т.е. концах отрезка [-2; -1] (?(а?) имеет значения разных знаков.

Следовательно, в некоторой промежуточной точке х = хз ЭТОГО отрезка д{х) (в силу непрерывности) обращается в ноль: д(хз) - 0, - -2 < za < —1,

тл

Аналогично находим, что 0(^4)0 при 0 < 1н так мак #(0) =¦ — 1 > 0, (?(1) - -2 < 0, и fltss) прн 2 < і'5 < 3, так как у(2) — -1 < < 0, дґЗ) = ДО > О,

Но у" — а є4*1' > 0 при любом значении и, поэтому

корми (и только они) являются корнями второй производной у", а знак у и любом интервале совпадает со знаком (/(л:)*

Установим знаки у" л интервалах знакопостояя^тва второй производной (—(xi^xi), {x2,x$)t (гса,-Е-оо), используя полученные значения при х —2, —1, 1,3,

Эти знаки меняются при переходе от одного интеррала к другому, следовательно, в граничных точках интервалов 1-4, имеется перегиб (смена вогнутости на выпуклость или наоборот). Мы ие можем подсчитать значения функции в точках перегиба, так как числовые значения х-*, нами не определены.

Выясним вопрос о существом ни и наклонных асимптот. Уравнение асимптоты ищем в виде у = kx + Ь, где

э

-V+a

lim

Т—' ОС

= Ііш

= 0;

М = 1іш

-2

хс

X х—-оо X

д - 1

і*

b — lim \f(x) - fcxl = lim

(х-1)<ГТ+2

-0 = Hm

I^OD

= 0

(например, no правилу Лолита ля).

Итак, имеется горизонтальная асимптота у — 0 (ось Ох). Следова-тельно. при х —±ос у —» 0.

На основании полученных выше результатов строим график (см, рис. 77)-

Пример 7. Построить график функции у= Мїї(ї^ — 4а; 4- 3) .

Решение, Установим область определения функции. Так как кубический корень существует при всех хт то область определения заданной функции совпадает с областью определения логарифма. Логарифм определён при положительных значениях аргумента, т.е. при х2 — Ах -f + 3 > 0. Решим это неравенство.

Квадратный трёхчлен х'2 -f- Ах -f 3 = 0 при х = — 1 их — -3. Этими значениями числовая ось разбивается на три интервала его знакопо- стоянства. Следовательно, + в интервалах (-оо; -3) и

(—+00). Таким образом, областью определения функции

у = 4х +3)

является объединение ннтераалоа (—ос; -3)и(-1; +оо) (см, рис. 79).

v ¦ t ¦ V. ,.- t

-З -2 -1 О

В точках х — —3, х = — 1 функция обращается в бесконечность, значит, существуют 2 вертикальные асимптоты: х = —3, х = — Исследуем на чётность и нечётность. Так как

/(-*) - УЩ^ + 4<-г) 4 3)] = фЪ № - 4* + 3) ^ [

то функция не является ни чётной, ни нечетной, т.е. график не сим-метричен относительно оси Оу и начала координат Очевидно, функция непериодическая,

Найдём точки пересечения с осями координат,

а) С осью Ох, в этом случае у= О, т. е. + 4х 4- 3) в О,

или Іг^з:2 + 4х 4- 3) — 0, откуда х1 4 + 3 = 1. Решаем полученное квадратное уравнение х2 4- 4х + 2 = 0:

Xl - _2 ™ ypl pa -3,4; Xi = -2 4 та -0,6

Имеем 4 интервала зкакопостоянства функции: (—оо; яі), (а; і; —3); (— -1; х2), (х2; оо).

Для установления знака функции в каждом из интервалов целесообразно принять во внимание график функции j/ = ln:r (см. рис. 7S),

У 39] Общая схема исследован ил функции и построения 11ё графика 2SI

х — 2 не входит о область определения; х3 = — 2 — */2 — яг* = — 2+ л/2 = Х2 (напомним, что Х\ к — абсциссы точек пересечения кривой с осью От); 3:5 = —3, Xg = —1 (совпадают с концами интервалов, в которых функдия не определена). Имеем следующие интерпалы знано постоянства производной: (—оо; —2 — -/2), — \/2; — 3)t -2 h і/2)> (-2 + v/2; +oo).

Заметим, что знак производной определяется знаком отношения 2 2 „ —к ті так как —- - ¦ - ¦¦ > 0 при любом л:- Знак квад-

л; +4*4-3 зфпНх* + 4х + г)

ратного трёхчлена уже определялся. Добавим туда точку х = —2 и отметим знаки одночлена х + 2,

14

Теперь выбираем интервалы с одинаковыми знаками, которые опрс-

х -4- 2

де ЛАЮТ положительные значения отношения -я- производи

х + Ах + 3

ной у1. Для упрощения этой процедуры отмечены также критические точки.

Теперь просто составить таблицу. X (-оо; -2-^/2 -у/2; -3) -3 <— W2) С-2+ +У2 ; +оо) Vі — оо — оо + оо + У ч Ч /

Ввиду сложности получения второй производной не будем определять точки перегиба. Без них можно нарисовать график, хотя менее точно. Определим асимптоты в виде у = kx + Ь,

к = Иш

Г—ЬСО

-lim І

г^оо I j

ЗС*—+QO X

Гіл з (яг + 4.Х + 3) [

— і;» і L —

X

I—КС*

(д + 2)

^lnV+^+3) E + 4x + 3

b = lim - кх] = Дш УЫ (x2 + Ax + 3) = oo.

- -ЮО

at—toe

Асимптот нет.

Из выражения для fr следует, что при х dboo у со. График строим в следующем порядке.

2&2_ Исследование функций с помощью производных [Гл. V

і

I. Отмечаем область определения и рисуем вертикальные асимптоты.

Наносим точки пересечения с осями координат, а также критические точки.

Отмечаем знаки функции {+, —) з соответствующих интервалах.

Проведём ветвь кривой иэ точки і] (в этой точке у — 0), Так как справа от этой точки у < 0, и, кроме того, имеется вертикальная асимптота, то кривая может идти только вниз от оси Oxt неограниченно приближаясь к асимптоте. Слева от точки кривая может пойти двояко (отмечено пунктиром), так как мы не определяли вторую производную и не находили участки вогнутости и выпуклости. Поэтому вычислим дополнительное значение функции в некоторой подходящей точке, на-пример, в такой, чтобы У\п[х2 + 4х -і-3) -3 или Infar2 + + 3) = 27. откуда X2 Ч- + 3 — с1-, Решая полученное уравнение, находим — «= —2— \/2 н- g27 : Х2 — — 2 + \/2 + е27. Но величина е27 очень велика, значит, при достаточно большом по абсолютной величине % значение у будет равняться 3, т.е. кривая пойдёт так, как указано сплошной линией.

Аналогичные рассуждения позволяют нарисовать график во втором интервале (см, рис. 79).

Пример 8. Построить график функции у = ficose".

Решение. Область определения функции — вся числовая ось, кроме точек, в которых функция еоаеса: = 1 /sin л: не существует, т, е. тех точек, в которых sini - 0. Решение этого уравнения есть X - &7Г,

к 0; ±1; ±3.., В указанных точках существуют вертикальные асимптоты.

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников

^39) Общая схема исследования фунщш^имстроенця её графика 2S3 Функции не является ни чётной, ни нечётной, так как

I -/w*

Функция периодическая с периодом 2-х. Действительно, sixix — функция периодическая, соьесх — также периодическая функция (см, риСн SO).

Значен;)я показателя степени cosees повторяются с периодом 2irt а потому с этим периодом будут повторяться Значення у — gCOsecx ^ связи с этим ограничимся исследованием функции а интервале (0,2іт),

Так как си > 0 прн любом и, то функция у =tCQaecj: не пересекает оси Ох. Она также не пересекает ось ОуУ так как при х — О не определена.

Исследуем на экстремум

sin^x

у - {е*ж*У - е™*^ (J—)' - -е

\sinz:/

Критические точки получаются в результате решения уравнений соья — 0 и ain^ х = 0. В интервале (0,27т) cos а: = О при х^ = х/2 и 12 = Зтг/2» а — 0 при ?3 — л (при этом значении функция не определена).

Имеем следующие интервалы знакопостоянстпа производной: (">!)> (*, 2.).

Так как eMSKt > 0 и sin2 л; > О в указанных интервалах, то знак производной у' определяется знаком cosх,

Составляем таблицу; X г '{о.;-)1 1Ґ

% 1Я * № Тк "

а у' 0 0 + V У max ч ¦ \ miu /

= — е яа 2,7,

JA.au-/(у)

Решим вопрос о существовании точек перегиба. Находим у" * т-д ¦ ¦ {соы2 х + sm a;(I + cos* i)J,

Sin д:

Абсциссы точек перегиба могут быть найдены из уравнений sin4i = О или sin х — 0 и cos5 х sin х(1 + COS^J:) = 0.

Решениями уравнения sini — 0 являются точки, в которых исходная функция не существует. Второе уравнение запишем з виде

(1 -зшаа:) + зЬіх[і + (1 - sin2 я)] =0

ИЛИ * 1

sm л: + sin х — 2sin х - 1 = 0,

Обозначим sin я = f. Тогда tJ ні- і2 — 2t — 1 = 0 имеет корни в интервалах (-2,-]}, (-1,0), (1,2), так как выражение g(t) = t3 +12 — 2t — 1 на концах указанных интервалов принимает значення разных знаков. Первый и третий интервалы отбрасываем, так как э них |?| > 1, a t = = sin аг. I suiafj ^ 1. Корень to Є (—1,0) приводит к равенству віпх — t?, to < О. Следовательно, в интервале (0,2тг), который мы рассматриваем, существует решение. Из рассмотрения график для функции у = sinх на рис. 80 следует, что в интервале (тг, 2тг) могут быть два таких значения ,xt что sin:r — tp, где < fy < 0, Следовательно, при всех значениях абсциссы х могут быть две точки перегиба (напомним, что условия у" =• 0 или не существует у" являются лишь необходимыми условиями существования перегиба, но не достаточными, т.е. при значениях д;, удовлетворяющих этим условиям, может быть перегиб, что не означает, что он обязательно есть). Так как -1 < fo < 0, то уравнение sin ж =

їв t__ . Зтг Зд , - <И<.тИу<12<2тг.

Этими точками интервал разбивается на три интервала зна ко постоянства (тг,JC), (хъ,2тг). Определим знаки у"(х) в этих интервалах, не находя конкретных значений а^ хг (найти х1у достаточно сложно, так как для этого нужно было определить to как решение кубического уравнения). Так как > 0 и smJ х > 0, то в интервалах (jt; г), (їь^а). (хг, 2тт) знак у"{х) определяется знаком выражения соа2^+ +шзга:) -/І(ї)н

Наиболее просто знак Л (а;) определить в интервале (а^а&а), который заключает в себе х = 37г/2. Тогда

h (f) = cos* (f) + d* Ц (l + cos^ f) = 0 - 1(1 -f- 0) -

а потому б интервале (хі^х?) у"(х) < 0, т.е. функция выпукла. Б интервалах и {З^'І, 2тг) будем брать значения аг, близкие к тг и 2?г соответственно. Эти значения можно взять такими, что в зыражеиин ti(x) — cos* а: + sma:(l + cos2 л:) = — sin3 x — sin2x + 2 sin x + 1 алгебраическая сумма — sin3 я; - він3 ® + З він as будет меньше 1, но будет больше нуля; > 0, Это можно сделать, тан как при х — * тг и х —* 2тг, sinx 0, Итак, в интервалах и (х^ 2тг) можно найти такое лг, что h(x) > 0, а следовательно, и ао всём интервале f(x) > О. Таким образом, yfi{%) > 0 в интервалах (vr,arj) н (лгді 2тг), т.е. критая вогнута з указанных интервалах Поскольку при переходе от интервалов (агь^а)* у"(х) меняет знаки, то значения xi и х% будут абсциссами точек перегиба,

Так как наклонные асимптоты определиеотся при х —* ±оо, то п интервале (0, 2тг) их не может быть.

Установим поведение функции на границе области определения, т.е. в граничных точках интервалов (0}тг) и (я,2тг), где функция определена. Так как в интервале (О^тг) при х —* 0 и лгеоаеед; —* -§-оо, то у = є™**" —і В интервале (іг; 2тг) cosecx —* —оо при х —*¦ тг, 2тг {см, рис. I), то у = е™4** О,

На основании полненных результатов строим график: У І є w y^^O^CX W е-]

і 1 1 r * J ^

IT

-о 2 0 I n

I П" "1 —1 - Г'І

2 2тг &

! X Рис.ЙІ

L В основном интервале (0,2тг) отмечаем точки х =0,л~,2тг, где функция не определена^ и проводим вертикальные прямые (асимптоты).

Наносим критические точки и Vmift! tfmsx*

Наносим абсциссы точек перегиба Xi, х2 к интервалах (тг; — j ,

/311 « \ 4 '

[~2"t 2тг} соответственно.

Игг функций с помощью производных 1 Гл.1 V

л к интрппалс (0,тг) проводим плавную кривую нз точки минимума к граничным точкам, учитывав, что на границе зтого интернала у -

= читрпвале (тг, 2тг) учитываем, что на участке функция

* И точке 3F = Зтг/2 она имеет максимум (т.е. имеет вид П), ВЫПУ , (г ті) Ы'2тг) кривая вогнута и стремится к нулю в

?г"ничных точках интервала (вг,2х). Стрелки на кривой обозначают. н графику не принадлежат.

ЧТ°б ° В ос тал ьньї х и Урвала х вида W + ВД Ч*™ «роим, исходя из условия периодичности функции (см. рис.81).

Задание Проверить эскизы графиков следующих функций, j у* - 2х3 - (Jx2 + 12х ~ G Рис- у = - 4* 12х - 9 W О 13 X (1; -4) j "9

Рис 82

2, у = {2х + (с* рис. 83).

У ГЪ , X к. 0 j и= -1 j:c = 3

Рис. Є9

9 У = i/> в=(ггї)

' їг1 . [ о і

~ , 1 И) ¦ Рис. 90

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме §39. Общая схема исследования функции и построения её графика:

  1. РАЗВИТИЕ НОТОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
  2. МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ ОРГАНИЗАЦИЕЙ
  3. Стратегия системных изменений
  4. § 37. Направление выпуклости графика функции,точки перегиба
  5. §39. Общая схема исследования функции и построения её графика
  6. Метод корреляционного моделирования
  7. Методические указания по оформлению и защите
  8. Приложение (теоретикам): "Теория предельной [бесполезности"
  9. 3.4. Исследование функций с помощью производных.
  10. Содержание дисциплины
  11. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  12. 2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).