<<
>>

Выпуклость и перегибы графика функции

Графиком функции , заданной на множестве , называют множество точек плоскости с координатами.

График называют выпуклым вниз на промежутке , если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Если на промежутке вторая производная положительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Если на промежутке , то график является выпуклым вверх на промежутке .

Точка может быть точкой перегиба только в том случае, когда , либо не существует – необходимое условие перегиба. Однако, равенство нулю или не существование второй производной в точке не означает еще, что в точке будет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.

I правило. Если равна нулю или не существует и при переводе через точку меняет знак, то ‑ точка перегиба графика функции .

II правило.

Если и , то является точкой перегиба графика функции .

Пример 4. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции .

Вычислим вторую производную .

;

.

Точки и разбивают числовую прямую на три промежутка: . На промежутках вторая производная положительна, на промежутке ‑ отрицательна. Следовательно, график функции является выпуклым вниз на и выпуклым вверх на .

В точках вторая производная равна нулю. Вычислим : . Поскольку и , то в точке и в точке график функции имеет перегиб. 2.7

<< | >>
Источник: Гринберг А.С., Кастрица О.А., Скуратович Е.А.. Высшая математика. Курс лекций. Часть II: Курс лекций. ‑ Мн.:Академия управления при Президенте Республики Беларусь,2003. – 213 с.. 2003

Еще по теме Выпуклость и перегибы графика функции:

  1. § 37. Направление выпуклости графика функции,точки перегиба
  2. §39. Общая схема исследования функции и построения её графика
  3. 3.4. Исследование функций с помощью производных.
  4. Содержание дисциплины
  5. Схема исследования функций
  6. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  7. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточное условие выпуклости вогнутости кривой.
  8. 19. Производная обратной функции. Производные высших порядков.
  9. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  10. 17. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
  11. 17.4 Построение графиков функций.
  12. 3.1. Связь свойств функции и производной
  13. 3.2. Исследование функций с помощью производной. Построение графика.
  14. Содержание
  15. Выпуклость и перегибы графика функции
  16. Исследование функции и построение графика
  17. Производственные функции
  18. Подбор производственной функции
  19. Теория затрат: функции «затраты-выпуск»
  20. §13. Выпуклость и вогнутость графика функции.