Выпуклость и перегибы графика функции
Графиком функции 
, заданной на множестве 
, называют множество точек плоскости с координатами
.
, если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба. Если на промежутке вторая производная 
положительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Если 
на промежутке , то график является выпуклым вверх на промежутке .
Точка 
может быть точкой перегиба только в том случае, когда 
, либо 
не существует – необходимое условие перегиба. Однако, равенство нулю или не существование второй производной в точке 
не означает еще, что в точке 
будет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.
I правило. Если равна нулю или не существует и 
при переводе через точку меняет знак, то ‑ точка перегиба графика функции 
.
II правило.
Если и 
, то 
является точкой перегиба графика функции 
. Пример 4. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции 
.
Вычислим вторую производную .
;
.
Точки 
и 
разбивают числовую прямую на три промежутка: 
. На промежутках 
вторая производная положительна, на промежутке 
‑ отрицательна. Следовательно, график функции является выпуклым вниз на и выпуклым вверх на .
В точках 
вторая производная равна нулю. Вычислим 
: 
. Поскольку 
и 
, то в точке 
и в точке 
график функции имеет перегиб. 2.7