<<
>>

6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении

В различных вопросах математики приходится рассматривать линейные, но не ограниченные операторы. Такие операторы, естественно, не будут непрерывными. Более того, они будут определены не на всем пространстве, а на некоторых всюду плотных линейных многообразиях рассматриваемого пространства.

Приведем пример такого оператора. Пусть Х = У = С[а, b]. Рассмотрим оператор дифференцирования

Ясно, что этот оператор линеен. Однако он определен (имеет смысл) не на всем пространстве С[а, b], а лишь на подмножестве С[а, b], состоящем из функций, имеющих непрерывною производную. Это множество является, очевидно, линейным многообразием, и так как оно содержит все полиномы, то всюду плотно в С[a, b]. Легко убедиться, что оператор А на не является ограниченным. В самом деле, пусть хn (t) = sin nt. Тогда , а

,

и потому .

Неогра­ниченный линейный оператор А не обладает свойством не­прерывности. Из того, что хn ® х0. вообще говоря не следует, что {Aхn} стремится к какому-либо пределу. Однако некоторые неограниченные линейные операторы обладают более слабым свойством, отчасти заменяющим свойство непрерывности.

Определение 4. Прямой суммой Z =XAY двух линейных пространств X и Y называется совокупность пар z = (х, у) (х Î X, у Î Y), для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если z1 = :(x1, y1), a z2 = (х2,, y2) и a1, a2 — скаляры, то

a1z1 + a2z2 = (a1x1 + a2x2, a1y1 + a2y2)

Если X и Y – нормированные пространства, то норма в XAY вводится по формуле ||z|| = ||x|X|| + ||y|Y|| (проверить аксиомы нормы. Показать, полноту XAY, если X и Y банаховы).

Пусть у = F(x)—оператор (вообще говоря, нелинейный) с областью определения D(F) в банаховом пространстве X и с областью значений в банаховом пространстве У.

Определение 5. Графиком оператора F называется совокупность пар (х, F(x)), где х Î D(F).

График опера­тора является подмножеством пространства XAY. Определение графика оператора хорошо согласуется с определением графика функции. Пусть ниже F = А – линейный оператор.

Определение 6. Линейный оператор А: X® Y называется замкну­тым, если его график является замкнутым множеством в XAY.

Замкнутость графика оператора А означает, что если хn Î D(А) и (хп, Ахп) ® (х, у), то х Î D(A) и у = Aх.

Так как ||z|| = ||х|| + ||у||, то определение замкнутости оператора А можно записать так: если хп Î D(A), хn ® х, а Ахп ® у, то х Î D(A) и у = Ах.

Теорема 8. Если D(A) = X и А ограничен (т.е. А ÎL(Х, Y)), то А замкнут.

Доказательство. Пусть хп ® х и Aхn ® у при n ® ¥. Из непрерывности оператора A вытекает, что Ахп ® Ах, n ® ¥. Но предел единственен и, значит, у = Aх.

Теорема 9. Если А замкнут и А-1 существует, то A-1 также за­мкнут.

Доказательство. Рассмотрим графики операторов А и A-1:

{(x, Ax), x Î D(A)} и {(y, A-1y), y ÎR(A)}.

Но график оператора А-1 можно записать в виде {(Ах, х), х Î D(A)}, т. е. он получается из графика оператора А перестановкой х и Ах и, значит, также является замкнутым множеством в YAX. Это и означает замкну­тость A-1.

Следствие. Если А Î L(Х, Y) и А-1 существует, то А-1 замкнут.

Действительно, по теореме 8 оператор А замкнут, тогда по теореме 9 оператор А-1 замкнут.

Пример 21. В гильбертовом пространстве H с ортонормированным базисом {ek} зададим линейный оператор A следующими формулами: Aek = lkеk, k = 1,2, ... ,где lk –некоторые скаляры. Если х ÎH, то х = , где ряд ||х||2 = . Тогда Ах = . Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда

||Ax||2 = < ¥ (17)

Возможны следующие два случая:

а) |lk| - ограничена: этот случай рассмотрен в примере 4, оператор А ограничен.

б) |lл| - неограниченна. Оператор А неограничен, и его область опре­деления D(A) состоит из элементов х, удовлетворяющих неравенству (17). Неограниченность А вытекает из того, что ||Аеk|| = |lk| при k ®¥ неограниченны, хотя ||еk|| = 1. Если infk |lk| = сА > 0 (т.е. lk отделе­ны от нуля положительным числом), то существует A-1, определяемый на элементах

y = , 0, согласно теореме 9, обеспечивает замкнутость A.

Пример 22. Пусть X = Y = С[0, +¥) — банахово пространство функций x(t), непрерывных и ограниченных на полуоси [0, +¥) с нормой ||х|| = .

Зададим в X оператор A по формуле Aх = tx(t). Оператор A линеен, и его область определения D(A) состоит из функций, удовлетворяющих неравенству

|x(t)| £ c/(1 + t),

где постоянная с – своя для каждой функции из D(A).

Оператор A неограничен. Действительно, рассмотрим последователь­ность функций xn(t) = п/(п + t) (п = 1, 2, ...). Заметим, что xn(t)Î D(A), так как |хn(t)| = п/(п + t) £ n/(l + t). Кроме того, ясно, что ||хn|| = 1. Теперь имеем

следовательно, .

Покажем, что А замкнут. Пусть в пространстве X выполняется xn(t) ® x(t), txn(t)® y(t) при п ® ¥. Тогда (1 + t)xn(t) ® x(t) + y(t) при п ® ¥ (сходимость везде равномерная на [0; +¥). Следовательно, для любого e > 0 найдется номер N такой, что если n ? N, то

|(1 + t)xn(t) – [x(t) + y(t)]| < e для всех t Î [0, +¥), или .

Следовательно, xn(t) ® при п ® ¥, но хn(t) ® x(t), поэтому , откуда y(t) = tx(t), т.е. у = Ах. Остается заметить, что х Î D(A) в силу оценок:

|x(t)| £ С1||y|| £ 2С1||y||/(1 + t) при t Î[0, 1],

|x(t)| £ С2||y||/t £ 2С2||y||/(1 + t) при t Î[1, +¥),

.

Пример 23. Пусть Х = У = С[а, b]. Рассмотрим оператор дифференцирования

В начале этого пункта показано, что этот оператор не является ограниченным. Покажем, что А замкнут. Сходимость в С[а, b] равномерная. Пусть xn(t) ÎD(A), и пусть при п ® ¥

xn(t)®x(t) равномерно на [a, b],.

x'n(t)® y(t) равномерно на [а, b].

Согласно известной теореме о дифференцировании функциональной по­следовательности функция x(t) непрерывно дифференцируема (т.е. x(t) ÎD(A)) и x'(t) = y(t). Итак, A замкнут.

Пример 24. Снова рассмотрим в С[а, b] оператор дифференцирова­ния A, но на этот раз в качестве его области определения D(A) возьмем множество всех непрерывно дифференцируемых на (а, b] функций, удо­влетворяющих граничному условию x(а) = 0. Теперь оператор A имеет обратный

,

определенный всюду в С[а, b] и ограниченный (||A-1y|| £ (b – a)||y||). Следовательно оператор А-1 замкнут (теорема 8), а тогда и обратный к нему оператор А также замкнут (теорема 9).

Лемма 5. Пусть А – замкнутый линейный оператор, определенный всюду в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом про­странстве Y. Пусть, далее, существует плотное в X множество М и постоянная с > 0, так что ||Ax|| £ с||х|| для всех х Î М. Тогда опера­тор А ограничен.

Доказательство. Выберем элемент х0 Î X. Покажем, что найдется элемент x1 Î М такой, что

||x1|| £ ||x0||, ||x1 – x0|| £ ||x0||/2 (18)

Действительно, вследствие плотности М в X для хe = (1 – e)х0, e Î (0, 1), найдется элемент х1 Î М такой, что ||хe – x1 || £ e||x0||.

Оказывается, e можно подобрать так, чтобы элемент x1 удовлетворял условиям (18). Имеем

||x1|| £ ||x1 - xe|| + ||xe|| £ e||x0|| + (1 - e)||x0|| = ||x0||,

||x1 – x0|| £ ||x1 - xe|| + ||xe - x0|| £ e||x0|| + e||x0|| = 2e||хо||.

Возьмем e = 1/4 и получим неравенства (18).

Точно так же можно показать, что для элемента х0 – х1 найдется элемент х2 Î М такой, что

||x0 – x1 – x2|| £ ||x0 – x1||/2 £ ||x0||/22, ||x2|| £ ||x0 – x1|| £ ||x0||/2.

Повторяя эти построения, можно доказать, что для каждого натурального п найдутся x1, х2, ... , хп Î М такие, что

||x0 – (x1 + …+ xn)|| £ ||x0||/2n, ||xn|| £ ||x0||/2n – 1.

Отсюда вытекает, что х0 = . Далее, так как ||Axk|| £ c||xk|| £ c||x0||/2k – 1, то ряд сходится абсолютно. Пусть у — его сумма. Поскольку при n ® ¥ Asn ® y, sn ® x0, то, вследствие замкнутости оператора A,

.

Но тогда имеем оценку .

Вследствие произвольности х0 доказана ограниченность оператора А, а значит, и лемма доказана.

С.Бана­ху принадлежит следующая важная в приложениях теорема.

Теорема 10 (Банаха о замкнутом графике). Пусть А — замкнутый линейный оператор, определенный всюду в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y. Тогда оператор А ограничен.

Доказательство. Для каждого натурального числа п рассмотрим множество

Хп = {х Î Х: ||Ax|| £ n||х||}. (19)

Очевидно, что

. (20)

По теореме Бэра существу­ет Хп, которое не является нигде не плотным. Тогда найдется замкнутый шар S[x0, r], лежащий полностью в замыкании Хп. При этом можно полагать, что х0 Î Хп. Действительно, так как шар лежит в замыкании Хп, то либо х0 Î Хп, либо х0 является предельной точкой для множества Хп. Это означает, что в Хп найдется элемент х1, для которого ||x0 – x1|| < r/4. Тогда S[x1, r/2] Ì S[x0, r] Ì`Хп. Поэтому без ограничения общности считаем, что х0 Î Хп.

Выберем теперь элемент u0 Î X с ||u0|| = r и рассмотрим элемент у0 = х0 + и0. Так как ||у0 - х0|| = ||и0|| = r, то у0 Î S[x0, r]. Так этот шар лежит в замыкании Хп найдется последовательность {yk} Ì S[x0, r]ÇXn такая, что при п ® ¥ yk ® y0 = х0 + и0. Рассмотрим теперь последовательность uk = yk - х0. Так как {yk} Ì S[x0, r], то || uk|| £ r, при этом uk ® и0.

Вспоминая определение Хп (см. (19)) и пользуясь тем, что уk Î Хn, х0 Î Хп, получаем следующую оценку:

||Аиk|| = ||А(уk - х0)|| £ ||Ауk|| + ||Ax0|| £ n(||уk|| + ||х0||) =

= n(||uk + х0|| + ||хо||) £ n(||uk|| + 2||хо||) £ £ n(r + 2||хо||). (21)

Далее, так как при k ® ¥ ||uk|| = ||уk - х0|| ® r, то найдется номер N такой, что при всех п > N выполняется неравенство

||uk|| > r/2 или 1 < 2||uk||/r.

Продолжая оценку (21) при п> N, приходим к оценке

||Аиk|| £ 2n||uk||(r + 2||x0||)/r . (22)

Отсюда получаем следующий вывод: при всех п > N (см. определе­ние Хп ) иk Î Хm , где m = 2n + 4n||x0||/r.

Как отмечено выше при k ® ¥ иk ® u0. Тогда из неравенства (22) получаем, что любой элемент u0 Î X с ||u0|| = r является пределом элементов из Хm. Но из (19) следует, что Хm содержит вместе с каждым х и lх при любом l. Таким образом, Хm плотно в X, и так как на Хm ||Ax|| £ m||x||, то по лемме 5 оператор A ограничен, и теорема полно­стью доказана.

Напомним, что отображение, осуществля­емое оператором А Î L(Х, Y) называется открытым, если А отображает каж­дое открытое в X множество во множество, открытое в Y.

С теоремой Банаха об обратном операторе тесно связано следующее также принадлежащее Банаху утверждение.

Теорема 11 (теорема Банаха об открытом отображении). Пусть X, Y – банаховы пространства, А Î L(Х, Y) и R(A) = Y. Тогда отображение, осуществляемое оператором А, являет­ся открытым.

Доказательство. Согласно определению открытого множества до­статочно доказать, что для всякого открытого шара S(x0, r) Ì X найдется открытый шар S(y0, r), у0 = Ах0 такой, что S(y0, r) Ì A(S(x0, r)). Вслед­ствие линейности А можно принять х0 = 0, у0 = 0 и r = 1.

а) Пусть сначала N(A) = {0}. Тогда оператор А удовлетворяет теореме об обратном операто­ре и значит А непрерывно обратим. Если ||у|| < r = ||A-1||-1, то для х = А-1у имеем оценку ||x|| £ ||A-1||?||y|| < 1 и теорема доказана.

б) Пусть теперь N{A) ? {0}. N(A) – замкнуто в силу непрерывности оператора А и, следовательно, яв­ляется подпространством в X. Введем фактор-пространство = X/N(A), также являющееся банаховым пространством (см. теорему 5.2) с нормой

.

В определим линейный оператор , действующий по формуле = Ах, где х . Нетрудно проверить, что так определенный оператор корректно определен, линеен и ограничен. При этом .

По теореме Банаха об обратном операторе непрерывно обратим. Мы находимся в условиях пункта а) для оператора . Это означает, что если ||y|| < r, то , где . Но по определению нормы в найдется такое, что . Следовательно, если ||y|| < r/2, то y = Ax с ||x|| < 1. Теорема полностью доказана.

Задачи

1. Какие из следующих операторов являются непрерывными?

1) A: Rn®Rn определен формулой yi=, i = 1,…,n;

2) A: C[0, 1] ® C[0, 1] определен формулой Ax(t) = ;

3) d/dt: C1[0, 1] ® C[0, 1];

4) d/dt: C[0, 1] ® C[0, 1] определен на множестве непрерывно дифференцируемых функций из C[0, 1];

5) A: C[0, 1] ® C[0, 1] определен формулой Ax(t) = , где K(t,t) непрерывна на квадрате [0, 1]´[0, 1];

6) A: L2[0, 1] ® L2[0, 1] определен формулой Ax(t)= , где K(t,t)ÎL2([0, 1]´[0, 1]).

2. Если имеется ортонормальный базис в гильбертовом пространстве Н, то всякий линейный оператор А может быть задан бесконечной матрицей , где .

Доказать, что для ограниченности оператора А необходимо и достаточно для бы некоторого M и любых , выполнялось условие . Получить неравенства

.

3. Показать, что оператор нормального типа (пример 4) обладает ограниченным обратным тогда и только тогда, когда соответствующие числа по модулю больше положительной постоянной.

4. Найти норму оператора в пространстве .

5. Найти норму оператора в пространстве .

6. Найти норму оператора в пространстве , если .

7. Доказать линейность и найти норму в пространстве

а) оператора для ,

б) функционала , где .

8. В пространстве рассмотрим операторы

, ,

где ядро непрерывно на , и такой полином, что

при .

Сходятся ли операторы к оператору А? Какой характер носит эта сходимость?

Ответить на те же вопросы для операторов

, ,

где и при .

9. Пусть . Будут ли операторы А и В перестановочны?

10. Найдите ядра и образы операторов, отображающих l2 ® l2, заданных формулами

1, х2,…) ® (0,х1, х2,…);

1, х2,…) ® (х2, х3,…);

1, х2,…) ® (х1, х2/2, х3/3,…).

11. Доказать, что оператор, отображающий линейное нормированное пространство Х в фактор-пространство Х/L (L – линейное пространство, замкнутое по норме Х) и ставящий в соответствие элементу х ÎХ содержащий его класс эквивалентности, является линейным ограниченным оператором.

12. Пусть Н – гильбертово пространство, А: Н ® Н – ограниченный линейный оператор, определенный на всем Н. Доказать, что

13. Пусть – ортонормированный базис гильбертова пространства Н, lnÎR. Доказать, что если последовательность ln ограничена, то равенства Аеn = lnen определяют линейный ограниченный оператор А в гильбертовом пространстве Н, причем норма ||A|| = .

14. Пусть Х, Y – банаховы пространства и А Î L(X, Y). Всегда ли равенства

а) ||x||1 = ||Ax||; б) ||x||2 = ||x|| + ||Ax||

задают в Х норму? Будет ли Х в этой норме банаховым пространством?

15. Пусть Х, Y – банаховы пространства и последовательность {Аn} Ì L(X, Y) такова, что для любого х Î Х последовательность {Аnх} фундаментальна в Y. Доказать, что существует А Î L(X, Y) такой, что Ах = для любого х Î Х. Доказать, что ||A|| £ . Можно ли последнее неравенство заменить равенством?

16. Пусть Х, Y – банаховы пространства и последовательность {Аn} Ì L(X, Y), Аnх ® Ах на любом элементе х Î Х. Доказать, что если xn ® x, то Аnхn ® Ах.

17. Пусть Х, Y – нормированные пространства, причем пространство Y конечномерно. Пусть А – линейный оператор из Х в Y. Доказать, что оператор А непрерывен тогда и только тогда, когда ядро оператора А замкнуто. Верно ли это утверждение в случае бесконечномерного пространства Y?

18. Пусть оператор I – оператор естественного вложения пространства l1 в пространство l2. Доказать, что он является непрерывным оператором, но не имеет ограниченного обратного.

19. В пространстве l2 для элемента х = (х1, х2, …) Î l2 определим последовательности операторов:

;

.

Являются ли эти последовательности сходящимися а) поточечно; б) по операторной норме?

20. Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве С[0, 1] по формуле

и последовательность операторов Аn, действующих в пространстве С[0, 1] по формуле

.

Сходится ли последовательность Аn к А?

21. Доказать, что если для любого х Î l2 верно включение (x1y1, x2y2, ..) Î l1, то y Î l2.

22. Пусть Х нормированное пространство, оператор А действует в нем и при некоторых lk ÎR удовлетворяет соотношению I + l1A + l2A2 + …+ lnAn = 0. Доказать, что существует обратный оператор к оператору А.

23. Доказать, что оператор А: С1[0, 1] ® C[0, 1] : имеет правый, но не имеет левого обратного.

24. В пространстве С1[0, 1] рассмотрим подпространство L = {x(t)Î С1[0, 1]: x(0) = 0} и оператор А: L ® С[0, 1]

,

где а(t) непрерывная на отрезке [0, 1] функция. Доказать, что оператор А имеет ограниченный обратный.

25. Рассмотрим оператор А: С[0, 1] ® C[0, 1]:

.

Что представляет собой множество значений оператора А? Существует ли обратный оператор на множестве значений и ограничен ли он?

26. Рассмотрим оператор А: С[0, 1] ® C[0, 1]

.

Доказать, что А имеет ограниченный обратный на всем C[0, 1] и найти А-1.

27. Доказать, что оператор А: С[0, 1] ® C[0, 1]:

непрерывно обратим и найти А-1.

28. Рассмотрим оператор А: lp ® lq, 1£ p, q < +¥, который определяется формулой

Ах = (l1х1, l2х2, …), х = (х1, х2, …)

где lk – заданная последовательность чисел, k = 1, 2, … Какова должна быть последовательность этих чисел, чтобы оператор А был ограничен?

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении:

  1. 6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении