1.9.2. Замкнутые классы

Пусть множество булевых функций от n переменных.

Замыканием F ([F]) называется множество всех булевых функций, реализуемых формулами над F.

Множество функций (класс) называется замкнутым, если [F]=F.

Рассмотрим следующие классы функций.

1. Класс функций, сохраняющих 0:

.

2. Класс функций, сохраняющих 1:

3. Класс самодвойственных функций:

, где .

4. Класс монотонных функций

где .

5. Класс линейных функций

, где + - означает сложение по модулю 2, а знак конъюнкции опущен.

Теорема. Классы Т₀, Т₁, Т_*, Т_М, T_L – замкнуты.

Доказательство. Чтобы доказать, что некоторый класс F замкнут достаточно показать, что, если формула реализована в виде формулы над F, то она принадлежит F.

Рассмотрим доказательство для одного класса функций Т₀.

Пусть и . Тогда .

Аналогичные доказательства можно привести для остальных классов.