1.9.3. Функциональная полнота

Класс функций F называется полным, если его замыкание совпадает с P_n:

.

Другими словами, множество функций F образует полную систему, если любая функция реализуема в виде формулы над F.

Теорема.

Пусть заданы две системы функций и .

Тогда, если система F – полная и все функции из F реализуемы формулами над G, то система G тоже полная.

Доказательство. Пусть h – произвольная функция, . Тогда [F]=P_n, следовательно, h реализуема формулой , базисом которой является F (). Если выполнить замену подформулы fi на подформулу в формуле , то мы получим формулу над G.

Следовательно, функция h реализуется формулой .

Примеры:

1. Система {} – полная, т. к. любая логическая операция может быть выражена через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание;

2. Система {} – полная, т. к.

3. Система {} – полная, т.

4. Система {|} – полная, т. к. , а {}и{} – полные системы.

5. Система {} – полная, т. к. Представление логической операции системой{}называется полиномом Жегалкина. Таким образом, всякая логическая операция представима в виде

где - сложение по модулю 2, знак · обозначает конъюнкцию, .

Теорема Поста: Система логических операций полна тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы одну функцию, не сохраняющую 0, одну функцию, не сохраняющую 1, хотя бы одну несамодвойственную функцию, хотя бы одну нелинейную функцию и хотя бы одну немонотонную функцию.

Пример.

Докажем полноту системы {A,U,1}.

1.

Проверка на принадлежность классу T₀.

2.

Проверка на принадлежность классу T₁.

3.

Проверка на принадлежность классу T*.

4.

Проверка на принадлежность классу T_L.

5.

Проверка на принадлежность классу T_M.

f(0,0)=0

f(0,1)=1

f(1,0)=1

f(1,1)=0

f(0,0)=0

f(0,1)=1

f(1,0)=1

f(1,1)=1