17. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
Функция называется выпуклой (вогнутой) на интервале
, если её график лежит под касательной (над касательной), проведённой к графику данной функции, в любой точке интервала
.
Иногда выпуклость называют выпуклостью вверх, а вогнутость – выпуклостью вниз.
Если функция дважды дифференцируема на интервале
и
(
) при всех
, то функция является вогнутой (выпуклой) на
.
Точка , принадлежащая области определения
функции
, называется точкой перегиба функции, если при переходе через неё меняется направление выпуклости функции. Точка
при этом называется точкой перегиба графика функции.
Точка называется точкой возможного перегиба функции
, если в этой точке
или
не существует.


Необходимое условие перегиба. Если - точка перегиба функции
, то
или
не существует.
Достаточное условие перегиба. Пусть функция дважды дифференцируема в окрестности точки
, в которой
или
не существует. Тогда, если производная
, при переходе через точку
меняет знак, то
- точка перегиба.
Прямая называется асимптотой графика
функции
, если расстояние от точки
до прямой
стремится к нулю при бесконечном удалении точки
от начала координат.
Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции
, если хотя бы один из односторонних пределов
или
равен бесконечности.
Прямая является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда
является точкой бесконечного разрыва функции
. Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот.
Прямая называется наклонной асимптотой графика функции
при
(при
), если
(соответственно,
). Частным случаем наклонной асимптоты (при
) является горизонтальная асимптота.
Прямая является наклонной асимптотой графика функции
при
(при
) тогда и только тогда, когда одновременно существуют пределы:
и
(соответственно,
и
).