<<
>>

Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточное условие выпуклости вогнутости кривой.

Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).

Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.П р и м е р . Рассмотрим график функции y = x3 :

Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'' = 6x, но 6x > 0 при x > 0 и 6x < 0 при x < 0, следовательно, y'' > 0 при x > 0 и y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x3.

15.

<< | >>
Источник: Неизвестный. Высшая математика. Ответы на экзамен. 2015

Еще по теме Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточное условие выпуклости вогнутости кривой.:

  1. §39. Общая схема исследования функции и построения её графика
  2. Вопросы для самопроверки
  3. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  4. Проблема качества в экономике
  5. Математические и логические "перлы" у Жана Тироля
  6. 3.4. Исследование функций с помощью производных.
  7. Содержание дисциплины
  8. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточное условие выпуклости вогнутости кривой.
  10. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  11. 5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).
  12. 3.1. Связь свойств функции и производной
  13. Производственные функции
  14. Подбор производственной функции
  15. Д
  16. П