22. Теорема(достаточное условие возрастания и убывания ф-ий):

Если f ’(x) на промежутке x, то ф-ия y=f(x) возрастает(убывает) на этом промежутке.

Док-во: Пусть f ’(x).

Экстремум ф-ии.Точка x0 называется точкой max(min) ф-ии y=f(x), если #8707; U(x0): f(x) #8804;f(x0), #8704;x#8712;U(x0).Значения функции в точке x0 соответственно наз-ся max(min).Экстремум ф-ии часто назыв-т локальным экстремумом,напоминая о том,что этот факт связан с достаточно малой окрестностью.

Теорема(необходимое условие экстремума):Для того,чтобы ф-ия имела в точке x0 экстремум,необходимо,чтобы f’(x0)=0 или не существовала.

Теорема(1-й достаточный признак экстремума):Пусть f(x) дифференцируема на некотором промежутке x.Если при переходе через точку x0 производная меняет знак с +на- в т.x0-max,если с – на +,то в т.x0-min.

Схема исследования ф-ии на экстремум:1)Найти f’(x).2)Найти критич точки. (т.е точки,где f ‘=0 или не существ.)3)Исследовать знак производной слева и справа.4)Найти значение ф-ии в найденных точках исследования.

Теорема(2е достаточное условие экстремума):Если f(x)дважды дифференц.ф-ия и f’(x0)=0, то при f ’’(x0)lt;0 в т.x0-max, и если f’”(x0)gt;0, то в т.x0-min.

Док-во:Пусть f’(x0)=0,a f’’(x0)gt;0

f’’(x)=(f ’(x))’ gt;0 в некотором (а,b) #8712;x0 =gt;f ’(x) возрастает в (a,b)и т.к. f ’(x)=0,то получаем f ’(x)lt;0 при x#8712;(a,x0) и

f ’(x)gt;0 при x#8712;(x0,b).Это значит, что f ’(x) при переходе в т. x0 f’’(x)поменяла знак с – на +.

24.Опред:Прямая наз-ся асимптотой к некот-й кривой,если при удалении в бескон-ть вдоль этой прямой,расстояние м/у прямой и кривой стремится к 0.

Асимптота бывает вертикальной х=а ,наклонной y=kx+b(в частности при k=0-прямая горизонталь).

Прямая х=а наз-ся вертик.асимптотой к графику ф-ии y=f(x), если

Теорема:Для того,чтобы прямая y=kx+b была правой(левой) наклонной асимптотой к гр.ф-ии y=f(x)необходимо и достаточно, чтобы:

1)#8707; limx#8594;+/-#8734; (f(x))/x=:k#8712;R

2) #8707; limx#8594;+/-#8734;(f(x)-kx)=b#8712;R