§ 33. Условия возрастания и убывания функций

Теорема 14. 1. Если дифференцируемая на отрезке [а,.Ь] функция f(x) возрастает, то на этом отрезке её производная не отрицательна,

2.

ДоЕїазательство< 1, Пусть /(аз) возрастает на отрезке [а:Ь], тогда f(x + As) > f(x) при Ля > О и f(x 4- Ля) < f(x) при Ах < 0.

2. Пусть f(x) > 0 для всех хЛ принадлежащих отрезку [а, &], тогда для любых значений Xi и х<2 (яі < х2) отрезка по теореме

Но так как на отрезке [а, 6] f(x) > 0 и х2 - > 0, то /(#з) ~ - f{xі) > Qt или f{x2) > f(xі), a это значит, что f(x) - возрастающая

Аналогичная теорема имеет место и для убывающей дифференци-руемой функции: если f(x) убывает на отрезке [а,Ь], то f(x) < 0 на этом отрезке; если f(x) < 0 на отрезке [а,Ь], то f{x) убывает на этом

Функции, убывающие или возрастающие на отрезке [а,і], называ-ются монотонными функциями на отрезке [а,6], Отметим, что если функция f(x) возрастает (убывает) на отрезке то;

а) функция f[x) +С (С — постоянная) возрастает (убывает) на

% функция Cf{x) при С > 0 возрастает (убывает), а при С < О

Исследование функций с помощью производных [Гуь -V

Если функция /Ґя] возрастает (убывает) на отрезке Го,/») и f(x) > > 0, то функция f2{x) возрастает (убывает) на отрезке [а,6|; если же /(а) < 0, то функция f '2(x) убывает (возрастает) НЕ отрезке

Если функция f(x) возрастает (убывает) на отрезке [a,bj и f{x) > 0,

то функция тг- убывает (возрастает); если же f(x) < 0, го функция 1 1\х)

убывает (возрастает) па отрезке

ели функция /(#) и возрастает (убывает) на отрезке то

функция у/Щ возрастает (убывает) на отрезке [а.*Ь],

Если функции /}(х) и возрастают (убывают) на [а,Ь, то

функция fi(x) 4-/iz(s) также возрастает (убывает) на [а,6],

Если функции fi(x) и /а(ї) неотрицательные на н обе возрастают (убываЕот) на [а,Ь], то функция fi(x) ¦ /^(я} возрастает (убывает) на отрезке [а,Ь]; если же обе отрицательные и обе возрастают (убыва

ют) на то функция f\(x)h(x) убывает (возрастает) на отрезке

[о, 61.

Можно ли почленно дифференцировать неравенство между функ днями? В общем случае нельзя. Например: при D < х < тг/4:

I, tgx < ctgx, но (tgят)' > (ctg я)'; .

Пример. Исследовать на Ешзрастание и убывание функцию

/{«) = і - Xа +1.

Решение. Находим производную f'(x) — х2-2х~ х{х — 2). Производная обращается в нуль при значениях х^ — 0t х2 ~ 2, т.е. имеем три промежутка (¦—оо,0), (0,2) и (2,оо), где производная сохраняет знак, причём в промежутках (-ootQ) и (2,оо) производная положительна, а в промежутке (0,2) - отрицательна. Следовательно, функция f(x) возрастает в первом промежутке, убывает во втором и снова возрастает в третьем. Её график представлен на рис.52.