§ 34, Необходимое и достаточное условия экстремума

f(xі) гри любых Д.т (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной, величине.

2. Функции f(x) имеет минимум при х = агз, если f(x2 + Ах) > > /(я?) при любых Ах — как положительных, так и отрицательных и достаточно малых по абсолютной величине.

3 Максимумы н минимумы функции называют экстремумами.

В предыдущем параграфе рассмотрена фунхция f(x) і л;3 — х2 1

+ -t которая имеет при % — 0 максимум, так как точка А выше всех

соседних, и минимум при а; = 2 — точка В ниже всех соседних.

Решение задачи о нахождении тех значений аргумента, при которых функция достигает экстремума, дают следующие теоремы.

Теорема 15, (Необходимое условие существования экстремума) Если дифференцируемая функция у — f(x) имеет в точке х — х\ экстремум (минимум или максимум), то /'{^i) =0.

Доказательство, ГТред:голожнмт что в точке х — її функция имеет максимум. По определению максимума имеем: f(x\ + Д:с) <

Дзі)* т.е. Ау « f(x% + Ах) - f(xі) < 0 гри достаточно малых по

абсолютному значению Ах. Тогда > 0 при Ах < 0; а при Да: > О

—-- < 0, и если Ах —» 0, оставаясь положительным, то /'(х-l) ^ О.

Бели же Дя -н- 0, оставаясь отрицательным, то ^ 0. Так как

/'(жі) по условию существует и го определению производной она не зависит от того, каким образом Ах —» 0, то два последних неравенства совместны в том случае, если /'(^О = 0, Аналогичным образом теорема доказывается и для случая минимума функции. Таким образом, для отыскания у дифференцируемой функции f(x) точек возможного экстремума, необходимо найти все корни уравнения f'(x) = 0. Точки, в которых f'(x) =0, называются точками возможного экстремума, или точками подозреваемого экстремума.

Доказанную теорему можно обобщить и на случай, когда функция не во всех точках имеет производную: если функция f(x) имеет в точке х ~xi экстремум, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует. Рассмотрим три графика,

1. Функция f(x) = |лт| не имеет производной в точке х ~ 0, но в этой точке функция имеет минимум (см. рис, 53),

Нєобхадимое_и достаточное условия экстремума

Ее лі:

2.

/'{х) < О ПРИ X < Г], f'(x) > О при X > ?1,

то п точке XI фун кипя имеет минимум.

Доказательство. Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. для всех хг достаточно близки* к точке Х[, имеем f'(x) > > 0 при х < ц и /'(_с) < 0 при х > xi, применш теорему Лагранжа к разности f(x) - f{xі). Имеем Да;) - f(xх) = - ? лежит

между Ї И Ї1.

Пусть я < Хи тогда f < f (С) > О- ҐШ* — С 0- следовательно, /(х) - / (xi) < 0 или /(х-) < /(її).

Пусть х > ,ть тогда ? > яь /'{?) < 0, ~ Xi) < О и следова

тельно. /(х) - Дхl) < 0. «Л" /О5) <

Таким образом, для псех значений х. достаточно близких к значение функции меньше, чем значение функции в точке xj. Следовательно, в точке xi }{х) имеет максимум (см. определение максимума). Аналогично доказывается л вторая часть теоремы,

Второе достаточное условие экстремума. Пусть при х = я і производная функции f{x) обращается в нуль. Пусть, кроме того, вторая производная существует и непрерывна в некоторой окрестности точки Xl.

Теорема 17. Пусть ff(xі) = 0. Тогда при х flJi функция имеет максимум, если f"(xі) < 0Т и минимум, если /'(xi) > 0.

Л ока зате льет а о, Пусть = 0 и /*(®0 <0. Так как f {х)

непрерывна в некоторой окрестности точки х^яі, то найдётся некоторая окрестность ТОЧКИ XI, во всех точках которой f"{x) будет отри-цательной.

Так как fff(x) есть производная от первой производной f {х} — - [/(х)1У, то из условия [/'(гс)]' < О следует, что f'(x) убывает в окрестности, содержащей точку х = ®і.

Замечания. ч

1. Если в критической точке {в точке, подозреваемой на экстремум; f"(xi) -- 0, то в этом точке может быть экстремум, а может и не бьггь^

2 Пусть гп — целое положительное число и пусть в точке X — Є

выполняется условие Г (С) = г (С) - ... - /(—«(О = О, /("1(C) ф О, тогда, если т - четное, то /(х) имеет экстремум в точке X - С :

и т

максимум, если f^(C) <й и минимум, если /(щ)(С) >0. Есл

нечётное, то х — С есть точка перегиба (см. §37).

Пример. Исследовать поведение функций:

!) /і(х) = 2х - х - 2соз(х - 1) в окрестности точки х0 = 1;

Мх) = бе1 - ? - Зх3 - 6z - 8, хс = 0;

/з(х) =4х+х2- lo = -1

Реш е н не.

f[(x) = 2- 2л: ч- 2аітї(д: - 1). /{(!) = 0; ff{x) ~ —2 ч- 2cos(s - 1), /f(l) « 0; f{lf(x) - —2 sin{ar - 1), = 0:

/№) - - 1), /<<>(1) - -2.

Следовательно, в точке а;о = 1 функция f\[x) имеет максимум,

/^(х) - вс* - З;г3 - Gx - fi, - 0; Д'О) - 6ех - - 6, Я(0) - 0, /?'(*) - - 6; /"'(0) = 0;

= /С4)(0) = Ь > 0. В точке г - 0 /г(а;} имеет минимум,

3} Л (ж) - 4 + 2* - Д(-1) - О,

/"(х) =2- 2eJ+* f"{-l) - 0,

/'"(а:) = -Зе1** /"'(-1) = -2.

В точке Хо = ™1 /з(д;) имеет точку перегиба,