§ 35. Схема исследования функции на экстремум

Найти первую производную данной функции f(x).

Найти точки, подозреваемые на экстремум, т. е. точки, в которых f'(x) либо равна кулю, либо бесконечна, либо не существует,

Исследовать знак производной слева и справа от каждой из критических точек, т.

Вычислить значение функции в точках экстремума. Пример. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

/(*) =- їх*- І я2 - 6* + 1.

Ре ш е и и е,

Находим первую производную: f'(x) — X — 6.

Поскольку /'(sc)i очевидно, существует при всех значениях х, критические точки найдутся а результате решения уравнения; х2 —

х — 6 = 0. Таким образом, точками, подозреваемыми на экстремум, являются а: = —2, х = 3 (см. рис. 56).

Слева от точки х = —2 производная положительна, это становится очевидным, если взять какое-нибудь значение х меньше (-2) и подсчитать значение /'(х), Например, х — —3, /'{-3) ^ 9 -f- 3 - Є = 6>0 (обратим внимание на то, что нужно определять только знак /'(?))¦ Справа от точки х — —2 производная отрицательная: /'(—1) = 1 + 1 —

С < 0. Следовательно, в точке х = —2 функция имеет экстремум, а так как производная при переходе слева направо через точку х = ¦= поменяла знак с плюса на минус, то точка х = ~2 является

Исследование функции с помощью производных [ Гл. V

Рис. 57