<<
>>

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = –1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (–¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = –1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = –; x = ; x = –1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

–¥ < x < –, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

< x < –1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

–1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

–¥ < x < –, y¢ > 0, функция возрастает

< x < –1, y¢ < 0, функция убывает

–1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = – является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно –3/2 и 3/2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Схема исследования функций:

  1. СООТНОШЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ И РЕГУЛЯТИВНОЙ ФУНКЦИИ ФИЛОСОФСКИХ ПРИНЦИПОВ в ФОРМИРОВАНИИ НОВОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
  2. ИССЛЕДОВАНИЯ МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ В РОССИИ: ВЧЕРА, СЕГОДНЯ, ЗАВТРА
  3. § 35. Схема исследования функции на экстремум
  4. § 37. Направление выпуклости графика функции,точки перегиба
  5. §39. Общая схема исследования функции и построения её графика
  6.   3.1 Организация и схема эксперимента
  7. ДЕСКРИПЦИЯ И МЕТОД. ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ ИЗДАНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ И ИДЕИ ЧИСТОЙ ФЕНОМЕНОЛОГИИ И ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ ФИЛОСОФИИ
  8. Опыт экспериментального исследования мышления
  9. Схема исследования функций
  10. § 3. Принципы и функции правоприменительного толкования
  11. 19. Производная обратной функции. Производные высших порядков.
  12. 25.Нахождение наиб и наим значения функции.Исследование ф-ии с помощью производных.
  13. 29. Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия для функции двух переменных.
  14. Глава I. О схематизме чистых рассудочных понятий
  15. 4. От "Логико-философского трактата" к "Философским исследованиям" (Л. Витгенштейн)
  16. Теоретические схемы и абстрактные объекты технической теории
  17. 3.2. Исследование функций с помощью производной. Построение графика.
  18. 4. Метод собственных функций
  19. ГЛАВА 2. МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ