Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
1) Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
2) Точки разрыва. (Если они имеются).
3) Интервалы возрастания и убывания.
4) Точки максимума и минимума.
5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6) Области выпуклости и вогнутости.
7) Точки перегиба.(Если они имеются).
8) Асимптоты.(Если они имеются).
9) Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; ¥).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = –1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (–¥; ¥).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = –1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = –
; x = ; x = –1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
.
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
–¥ < x < –, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
– < x < –1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
–1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая
0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая
< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
–¥ < x < –, y¢ > 0, функция возрастает
– < x < –1, y¢ < 0, функция убывает
–1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает
0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает
1 < x < , y¢ < 0, функция убывает
< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = – является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно –3/2 и 3/2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции:
Еще по теме Схема исследования функций:
- § 35. Схема исследования функции на экстремум
- §39. Общая схема исследования функции и построения её графика
- Эмпирическое социологическое исследование.Виды социологического исследования и их особенности.Методология, методика, техника, инструментарий социологического исследования.Программа социологического исследования и ее функции.
- Схема маркетингового исследования
- Психогенетика высших психических функций. Исследования наследуемости когнитивных функций. Ключевые признаки интеллекта.
- 1.3. Система маркетинговой информации и схема маркетингового исследования
- 3.2. Исследование функций с помощью производной. Построение графика.
- Исследование дыхательной функции
- Исследование функции и построение графика
- 3.4. Исследование функций с помощью производных.
- Схема участия частных страховых компаний (частно-государственная схема страхования)
- Исследование функций
- Оценка клеточных иммунных реакций Исследование функции Т-лимфоцитов
- 1.5.1. Исследование функций вегетативной нервной системы.
- 25.Нахождение наиб и наим значения функции.Исследование ф-ии с помощью производных.
- Исследование функций с помощью производной.
- Глава V. Исследование функций с помощью производных
- 3. Практическое занятие №3 "Исследование функции с помощью производной"
- Тема 17. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.