20. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа.

1. Теорема Ферма (о нуле производной)

Если ф-ия y=f(x) диффер-ма на некот-м lt;a,bgt; и принимает внутри a,b наиб или наим-ее значение в точке С,то если производная существует,то она=0.f

Геометрический смысл:

Док-во:Пусть в точке С ф-ия достигает наибольшего значения.Это значит, что для всех точек вида #8710;х+с.

Справедливо f(c+#8710;x)#8804;f(c)

#8710;y=f(c+#8710;x)-f(c)lt;0

Тогда - ?

При условии дифференцируемости ф-ии должен существовать и он может быть равен только 0,чтобы не зависел от значения #8710;x.

20 Теорема Роля.Если ф-ия y=f(x):

1) непрерывна на [a,b]; 2) диффер-ма в (a,b); 3) f(a)=f(b)

тогда С(a,b): f(c)=0.

Док-во: В виду непрерывности ф-ии на [a,b] согласно теоремам Веерштрасса эта функция достигает наибольшее и наименьшее значение на [a,b]. Ввиду условия 3,одно из этих значений будет достигаться внутри промежутка [a,b] точкой С. И т.к. ф-ия диффер-ма в [a,b], то по теореме Ферма производная в этой точке С будет = 0

30 Теорема Лагранжа.Если функция y=f(x):

1) [a,b] – непрерывна на [a,b]; 2) диффер-ма (a,b),то С (a,b): f(c)=

Геометрич смысл теоремы: С из (a,b) такая, что касательная к графику в этой точке будет хорде АВ.

Док-во: Сведем к теореме Роля.Для этого «осадим» на величину d(x),т.е.

#966;(x)=f(x)-d(x)

=tg#945;, =gt;d(x)=(x-a)tg#945;. tg#945;=(x-a)

#966;(x)=f(x)-(x-a)

Установим,что ф-ия #966;(x) удовлетворяет условиям теоремы Роля.

Итак,#966;(x) – непрерывна как разность непрерывных ф-ий; дифференцируема как разность диф-мых. #966;(a)=f(a), #966;(b)=f(b)

Т.о. #966;(x) удовлетворяет условиям теоремы Роля, значит д/нее с (a,b): #966;(c)=0

#966;'(x)=f(x) -

#966;'(c)=0=f (c) - Т.о.формула (1) доказана.

Замечание.Формулу (1) часто записывают в виде (f(b)-f(a)= f'(c)(b-a) и назыв формулой конечных превращений Лагранжи.

21.При вычислении пределов встречаются неопределенности следующих типов:1) ±#8734;#8734;, 2)0*#8734;, 3)0/0, 4) #8734;/ #8734;, 5)00, 6)1#8734;, 7)0#8734;, 8) #8734;0.

Принципиально все они сводятся к случаям 3и4.Случаи 5-8сводятся к 3 и 4логарифмированием.

Теорема(правило Лопиталя):Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных,если последний предел существует, т.е:

{или }=