Теорема Ферма. Теорема Роля.
Если функция определена на промежутке
и принимает наибольшее (наименьшее) значение в этом промежутке в некоторой точке
, то производная в этой точке равна нулю при условии её существования.
Доказательство:
На основе леммы.
Пусть в точке наибольшее значение функции, т.е.
(*) для
существует производная
.
Доказательство от противного: пусть , то по лемме
(1)
Если , то по лемме
(2)
(1)и (2) противоречат условию (*)
Теорема Ролля.
1) непрерывна на
2) в
3)
тогда
Доказательство:
По теореме Вейерштрасса
-наибольшее значение функции,
-наименьшее значение функции
, тогда по условию (3) хотя бы одно из этих значений принимается внутри промежутка, назовем эту точку
и по теореме Ферма следует, что
.
Геометрический смысл теоремы: Если крайние ординаты кривой равны, то найдется точка, где касательная параллельна оси
.
15.