Теорема Ферма. Теорема Роля.
Если функция 
определена на промежутке 
и принимает наибольшее (наименьшее) значение в этом промежутке в некоторой точке 
, то производная в этой точке равна нулю при условии её существования.
Доказательство:
На основе леммы.
Пусть в точке наибольшее значение функции, т.е. 
(*) для 
существует производная 
.
Доказательство от противного: пусть 
, то по лемме
(1)
Если 
, то по лемме 
(2)
(1)и (2) противоречат условию (*) 
Теорема Ролля.
1) непрерывна на 
2) 
в 
3) 
тогда 
Доказательство:
По теореме Вейерштрасса 
-наибольшее значение функции, 
-наименьшее значение функции 
, тогда по условию (3) хотя бы одно из этих значений принимается внутри промежутка, назовем эту точку 
и по теореме Ферма следует, что 
.
Геометрический смысл теоремы: Если крайние ординаты кривой равны, то найдется точка, где касательная параллельна оси 
.
15.
Еще по теме Теорема Ферма. Теорема Роля.:
- 20. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа.
- Теорема Лагранжа. Теорема Коши.
- 2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
- Теорема об интегрировании подстановкой. Теорема об интегрировании по частям.
- Лабораторная работа № 6 Теорема Эйлера
- 1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха
- Теоремы свертки и запаздывания.
- 6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
- Теорема Лагранжа.
- 1.2.6. Теорема (о норме )