Теорема Лагранжа. Теорема Коши.
Теорема Лагранжа.
Теорема.
Если:
1) непрерывна на
2) в
тогда существует точка (1)
Теорема Роля является частным случаем теоремы Лагранжа, т.к.


Геометрический смысл:
геометрически означает, что угол наклона касательной в точке
равен углу наклона хорды
.
Формулу (1) называют формулой конечных приращений Лагранжа и записывают в виде: (1)
Теорема Коши о конечных приращениях.
Теорема.
Пусть функция и
:
1) непрерывны в
2) имеют конечные производные и
в
3) и конечна
тогда существует точка (1)
Теорема Лагранжа – это частный случай теоремы Коши, которая получается, если .
Доказательство:
а) сначала покажем, что
, т.е.
. Если допустить противное:
, то функция
удовлетворяет условиям теоремы Роля
, а это противоречит условию (3)
б) введем вспомогательную функцию Утверждается, что данная функция удовлетворяет условиям теоремы Роля
, т.е. получена формула (1)
16.