<<
>>

Лекция 5 Теорема Коши для многосвязных областей

Пусть область D – двусвязная, иными словами, ее нельзя стянуть в точку за счет деформации граничного контура .

Пример такой области приведен на рисунке: внутри области содержится область , ограниченная контуром Г.

Требуется, как и выше, найти контурный интеграл

Выберем произвольную точку А на L и соединим её с точкой В на Г. По отрезку АВ выполним математический разрез (разрез, не имеющий ширины), как показано на рисунке справа. Точка А совпадает с точкой , а В – с . Разрезанная таким образом область превращается в односвязную с граничным контуром .

Будем двигаться так (вдоль контура): . В этом случае разобранная выше теорема Коши дает:

.

.

В общем случае, когда область D есть -связная область, то есть содержит внутри себя n областей, получается:

Теорема Морера

Пусть - функция, непрерывная в области D. Если для любого замкнутого непересекающегося контура, целиком лежащего в области D, справедливо равенство , то функция голоморфна в области D.

Доказательство:

откуда следуют условия Коши-Римана.

<< | >>
Источник: И.М. Лавит. Теория функций комплексного переменного. 2001

Еще по теме Лекция 5 Теорема Коши для многосвязных областей:

  1. Лекция 5 Теорема Коши для многосвязных областей
  2. Лекция 10 Особые точки аналитических функций
  3. Лекция 11 Теорема о вычетах