Лекция 4 Интегрирование функций комплексного переменного

Пусть в некоторой области на плоскости xOy задана кусочно-гладкая непересекающаяся кривая АВ (контур Г).

Рассмотрим, как в общем случае задается эта функция. Запишем уравнение контура Г в виде:

С использованием формул

найдем

Рассмотрим некоторую произвольную функцию. Тогда для точек контура Г можно записать:

В общем случае функция не удовлетворяет условиям Коши-Римана, и вид функции F(t) зависит от того, где проходит контур Г. Если же функция голоморфна (удовлетворяет условиям Коши-Римана) в области и, следовательно, представима в виде , то .

Определим интеграл от функции комплексного переменного формулой

Интеграл от функции комплексной переменной сводится к двум криволинейным интегралам от двух действительных функций u и v.

Связность области

Рассмотрим на плоскости xOy некоторую область , ограниченную замкнутым непересекающимся контуром . Если этот контур можно, деформируя его, стянуть в точку, то такая область называется односвязной, в противном случае – многосвязной.

Теорема Коши

Пусть в односвязной области задана голоморфная функция . Тогда интеграл от этой функции не зависит от пути интегрирования (если тот не выходит за пределы области ).

Доказательство:

Рассмотрим интеграл:

Для того чтобы выражение в первых скобках было полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы и .

Таким образом, выполнение условий Коши-Римана является необходимым и достаточным условием того, что функция является полным дифференциалом.

Следствия теоремы:

1. , где f(t) – голоморфная функция. , t – координаты точек контура Г. Из теоремы Коши следует, что функция также голоморфная, причем, .

2.

Пусть Г замкнут. Тогда интеграл вдоль Г

Доказательство:

Выберем на Г две точки А и В.

Рассмотрим случай, когда контур Г совпадает с граничным контуром области D, причем на этом контуре (контуре L) функция не обязательно голоморфна, но обязательно непрерывна. Она также непрерывно продолжима на контур L из любой внутренней точки области D. Легко показать, что и в этом случае теорема Коши остается справедливой. Для доказательства проведем контур Г так, чтобы он лежал целиком в области D не касаясь граничного контура. Для этого контура выведенная формула безусловно справедлива. Выберем внутри контура Г некоторую точку и будем проводить из нее лучи в произвольных направлениях. Каждый луч пересечет вначале контур Г (обозначим точку пересечения, например, ), затем контур L (в точке ). Для каждого луча расстояние будет различным. Пусть . Так как контур Г можно провести сколь угодно близко к контуру L, то можно совершить предельный переход . Так как подынтегральная функция изменяется непрерывно, значение интеграла также будет изменяться непрерывно, что доказывает справедливость теоремы Коши в данном случае.