<<
>>

Дифференцирование функций комплексной переменной

Производная функции комплексной переменной определяется следующим образом:

Будем считать, что функции и регулярны в области : непрерывны и имеют непрерывные частные производные по аргументам и .

Установим ограничения на функции u и v, которые должны выполняться, чтобы можно было дифференцировать функцию w по аргументу z. Функция должна быть функцией только одного комплексного аргумента - . Выше было показано, что комплексная функция, построенная из двух функций двух действительных переменных

при переходе к комплексным аргументам записывается в виде . Чтобы выполнялось соотношение , необходимо и достаточно выполнения условия

Получим

Полученные равенства называются условиями Коши-Римана.

Предположим теперь, что функции дважды дифференцируемы в области .

Исключим v из соотношений Коши-Римана:

Исключим теперь u:

Таким образом, функции удовлетворяют уравнению Лапласа и, следовательно, они являются гармоническими функциями.

<< | >>
Источник: И.М. Лавит. Теория функций комплексного переменного. 2001

Еще по теме Дифференцирование функций комплексной переменной:

  1. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  2. Тема 1. ПОНЯТИЕ И СОДЕРЖАНИЕ ФУНКЦИЙ ГОСУДАРСТВА
  3. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  4. Содержание дисциплины
  5. Производная функций комплексного переменного.
  6. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  7. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  8. 2.2. Тематический план дисциплины
  9. 2.2. Функции комплексного переменного (ФКП). Условия Коши-Римана
  10. 2.3. Элементарные функции и конформные отображения
  11. Контрольная работа №2