Дифференцирование функций комплексной переменной

Производная функции комплексной переменной определяется следующим образом:

Будем считать, что функции и регулярны в области : непрерывны и имеют непрерывные частные производные по аргументам и .

при переходе к комплексным аргументам записывается в виде . Чтобы выполнялось соотношение , необходимо и достаточно выполнения условия

Получим

Полученные равенства называются условиями Коши-Римана.

Предположим теперь, что функции дважды дифференцируемы в области .

Исключим v из соотношений Коши-Римана:

Исключим теперь u:

Таким образом, функции удовлетворяют уравнению Лапласа и, следовательно, они являются гармоническими функциями.