<<
>>

Лекция 3 Конформные отображения

Пусть дана функция w=f(z) (иначе w=w(z))

Продифференцируем:

Рассмотрим комплексные числа:

Геометрически это можно изобразить так:

Геометрически это можно изобразить так:

Рассмотрим преобразование вектора dz в dw ().

Вектор имеет модуль R и аргумент . В точке М производная имеет модуль r и аргумент . Поэтому в результате конформного отображения вектор поворачивается против часовой стрелки на угол , а его модуль увеличивается в r раз. Вектор был выбран произвольно, но при условии, что он лежит в малой окрестности точки М.
Выберем другой вектор , повёрнутый относительно на угол . Вектор является отображением вектора и будет повёрнут относительно на угол против часовой стрелки.

Рассмотрим угол между и . В силу того, что и получились в результате поворота исходных векторов на один угол (), угол между и будет равен углу между исходными векторами и , то есть углу .

Следовательно, при конформном отображении сохраняется угол между векторами.

Геометрический смысл модуля аргумента производной функции комплексного переменного: векторы в точке М растягиваются в r раз, а аргумент поворачивает эти векторы на радиан против часовой стрелки.

Если в некоторой точке области D функция f(z) непрерывна и имеет непрерывную производную, то функция называется регулярной в этой точке. Если функция f(z) регулярна во всех точках области D, то такая функция называется голоморфной в этой области.

<< | >>
Источник: И.М. Лавит. Теория функций комплексного переменного. 2001

Еще по теме Лекция 3 Конформные отображения:

  1. 2.2. Тематический план дисциплины
  2. Содержание
  3. Лекция 2 Функции комплексного переменного
  4. Лекция 3 Конформные отображения
  5. Функция Жуковского