<<
>>

Конформные отображения

Опр. Отображение обладающие свойствами консерватизма углов и постоянства растяжений называется конформным.

Теорема. Если аналитическая функция в области G в G, то задает конформное отображение области G.

Док-во:

y v

w

z

x u

; ;

; ;

- постоянство растяжений.

- консерватизм углов.

Доказано.

1. Линейная функция.

1) - параллельный перенос.

2)

При линейном преобразовании прямые переходят в прямые, окружность переходит в окружность.

2. Дробно-линейная функция.

, т.е. дробно-линейное преобразование сводится к линейному и функции .

Опр. Обобщенная окружность:

, т.е. это окружность или прямая.

Теорема. Дробно-линейная функция отображает обобщенную окружность в обобщенную окружность.

Док-во:

- обобщенная окружность.

Опр. Точки B и С - сопряженные относительно окружности Г, если любая окружность , проходящая через эти точки, ортогональна Г.

Лемма. Если точки В и С явл. Сопряженными относительно окр-ти с центром О, А-точка пересечения Г и ., то .

Утв. Если дробно – линейное отображение, то переводит точки, сопряженные относительно окружности, в точки, сопряженные относительно ее образа.

Z W

А С

В

O

;

, т.е. сопряженными являются точки 0 и .

Примеры решения задач:

Задача 1.

Отобразить полуокружность в единичный круг.

Z W

-1 1

Решение:

и сопряженные относительно Ох, т.е. действительная ось отображается в окружность.

;

- искомое отображение.

Задача 2.

Отобразить отрезок в единичный круг.

Z

3i

i

Решение:

- отобразить отрезок в ;

;

;

;

Задача 3.

Отобразить полосу в единичный круг.

1 2

Решение:

;

;

;

;

;

;

<< | >>
Источник: Каменский А.Г.. ЛЕКЦИИ по Теории Функций Комплексного Переменного. 2003

Еще по теме Конформные отображения:

  1. 1.3. Модное поведение индивида и социальной группы в трансформирующемся обществе
  2. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  3. 2.2. Тематический план дисциплины
  4. Раздел 2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
  5. 2.3. Элементарные функции и конформные отображения
  6. Содержание
  7. Конец 19 века и начало 20 века.
  8. Лекция 2 Функции комплексного переменного
  9. Лекция 3 Конформные отображения
  10. Некоторые основные элементарные функции комплексного переменного
  11. 5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
  12. 15. Дробно-линейная функция