9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм
Обсудим теперь определение непрерывного отображения топологических пространств. Пусть (Х, t), (Y, s) – два топологических пространства с топологиями t и s соответственно. Пусть f: X ® Y – отображение множеств.
Определение 18. Говорят, что f – непрерывное отображение топологических пространств, если полный прообраз f -1(V) любого открытого множества V пространства (Y, s) является открытым множеством пространства (Х, t).
Если f: Х ® У, g: У ® Z – отображения топологических пространств, то естественно определяется суперпозиция gf: Х ® Z по правилу (gf): х ® g(f(x)).
Теорема 10. Если f, g непрерывные, то и gf непрерывно.
Доказательство легко следует из равенства
(gf)-1(W) = f -1(g -1(W)),
где W Ì Z – произвольное множество. Проверим это равенство. Пусть х Î (gf)-1(W). Тогда g(f(x)) Î W ? f(x) Î g -1(W) ? x Î f -1(g -1(W)). Аналогично доказывается противоположное включение.
Определение 19. Отображение f: Х ® Y называется открытым (замкнутым), если образ каждого открытого (замкнутого) множества в Х открыт (замкнут) в Y.
Определение 20. Два топологических пространства, (Х, t), (Y, s'), называются гомеоморфными, если существует отображение f: Х ® Y, удовлетворяющее условиям:
1) f: X ® Y – биективное отображение;
2) f непрерывно;
3) f открыто.
Из биективности отображения f вытекает существование обратного отображения. Обозначим его через g. Если взять в Х открытое множество U, то g -1(U) = f (U) – является открытым множеством. Таким образом, обратное отображение к гомеоморфному также является непрерывным.
Сопоставление каждому открытому множеству U пространства Х его образа f (U) при гомеоморфизме f: X ® Y устанавливает биективное соответствие между топологиями пространств Х и Y.
Поэтому любое свойство пространства Х, формулируемое в терминах топологии этого пространства, будет верным и для пространства Y, гомеоморфного Х, и так же будет формулироваться в терминах топологии У. Таким образом, гомеоморфные пространства Х и Y обладают идентичными свойствами и с этой точки зрения являются неразличимыми.Если f: X ® Z – непрерывное отображение топологических пространств (Х, t), (Z, s), а Y – подпространство Х, то можно рассматривать и отображение f: Y ® Z, которое называется сужением f на Y и обозначается fY.
Теорема 11. Отображение fY : Y ® Z непрерывно.
Доказательство. Пусть WÎs, тогда (fY)-1(W) = f -1(W) ÇУ. Так как f -1(W)Ît, то (fY)-1 (W) ÎtY.
Определение 21. Отображение f: Х ® Y топологических пространств непрерывно в точке х0ÎХ, если для всякой окрестности О(f(x0)) точки f (х0) существует окрестность O(x0) точки х0 такая, что f(O(x0)) Ì O(f(x0)).
Теорема 12. Отображение f: Х ® Y непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке х Î Х.
Доказательство. Пусть f: Х ® Y непрерывно, х0 Î Х– произвольная точка и O(f(x0)) – произвольная окрестность точки f (х0). Тогда найдется открытое множество V Ì Y такое, что V Ì O(f (x0)) и f (х0) Ì V. Положим U = f -1(V), U – открытое множество, x0 Î U. Тогда f(U) = V Ì O(f (х0)), что по теореме 2 и доказывает непрерывность f в точке х0.
Обратно: пусть f непрерывно в каждой точке х Î Х. Пусть V Ì Y – произвольное открытое множество и пусть А = f -1(V). Так как V – окрестность любой своей точки и f непрерывно в каждой точке, то для всякого х Î А есть окрестность O(x) точки х такая, что f (O(x)) Ì V. Следовательно, O(x) Ì А, т.е. любая точка А является внутренней, что и доказывает открытость А. Непрерывность f доказана.