10. Компактные пространства
Вначале обсудим некоторые понятия, связанные с покрытиями топологических пространств. Пусть r = {А} – некоторая система подмножеств А множества Х. Объединение всех А из r обозначим `r и назовем телом системы r.
Определение 22. Система r называется покрытием подпространства Х топологического пространства Y, если `r E Х .
Определение 23. Говорят, что покрытие r подпространства Х является подпокрытием покрытия r' подпространства Х, если каждый элемент r является элементом системы r'.
Отношение подпокрытие вводит частичную упорядоченность в множестве всех покрытий подпространства Х. Покрытия, состоящие из конечного или счетного числа элементов, называются соответственно конечными или счетными.
Особое значение имеют покрытия, состоящие из открытых множеств. Такие покрытия называются открытыми.
Со свойствами открытых покрытий связаны многие важные свойства пространства. В связи с этим выделяют следующие классы пространства.
Определение 24. Пусть Y - топологическое пространство. Множество Х Ì Y называется компактным, если для всякого его открытого покрытия существует конечное открытое подпокрытие.
В этом случае говорят, что любое открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.
Компактное множество Х с индуцированной топологией является топологическим пространством. Его называют компактным пространством.
Пример 18. Пусть Х = [а, b] – из R1. Множество Х компактно, так как по теореме Гейне – Бореля из любого покрытия Х интервалами можно выделить конечное подпокрытие.
Теорема 13. Всякое замкнутое подмножество X компактного пространства Y само компактно.
Доказательство. Пусть r = {A} - открытое покрытие Х. Тогда, по определению индуцируемой топологии, для любого множества А из покрытия r справедливо предстваление А = ВÇ Х , где В – открытые множества из Y. В силу замкнутости Х, множество Y\X является открытым и система множеств {B}È{Y\X} образует открытое покрытие Y.
Так как Y компактно, из этого покрытия можно выделить конеченое подпокрытие, которое содержит множества В1, В2, …, Вn и, возможно, множество Y\X. Следовательно, Y =
Вk È( Y\X). Но тогда множества Аk = ВkÇХ, k = 1, 2, …, n, являются конечным открытым покрытием для Х. Последнее означает, что Х компактное множество. Следующая теорема часто применяется в анализе.
Теорема l4. Всякое бесконечное множество Z Ì Х компактного множества Х имеет в Х предельную точку.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что Z' = ?. Тогда `Z = Z, значит, Z замкнуто, а следовательно, и компактно. С другой стороны, каждая точка z Î Z не является по предположению предельной. Тогда существует открытая окрестность О(z) в Х с условием О(z)ÇZ = {z}. Такие окрестности О(z) образуют бесконечное покрытие пространства Z, из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие в противоречии с компактностью Z.
Понятие компактности тесно связано с понятием замкнутости, как показывает следующее утверждение.
Теорема 15. Пусть Х – компактное подножество хаусдорфова пространства Y. Тогда Х замкнуто.
Доказательство. Пусть у Î Y\Х. Для любой точки х Î Х в силу хаусдорфовости Y найдутся такие открытые окрестности Ux(y), Vy (х) точек у, х, что Ux(у) Ç Vy (х) = ?.
Система (Vy(х))x Î X образует открытое покрытие Х. В силу компактности Х имеется конечное подпокрытие (Vy(хk))k=1n . Легко видеть, что множества V(X) = Vy(хk) и U(у) = 
открыты и не пересекаются. Таким образом, показано, что в хаусдорфовом пространстве компактное множество Х и точку, не лежащую в нем, можно разделить непересекающимися окрестностями U(х) и U(y). Отсюда следует, что дополнение Y\Х открыто, поэтому Х замкнуто.
Задачи
1. Что представляет собой шар S(0, 1)
m с центром в точке 0 = (0,0, 0, …) и радиуса 1.
2. Пусть l1 – множество элементов x вида x = {
i}, где 
0; б) Ф¢(х) ? 0 и Ф¢¢(х) £ 0 при х ? 0. Доказать, что функция r(х, у) = Ф(|x – y|) определячет метрику на R.