5. Критерии компактности в пространствах С[0, 1], lp. Теорема Арцела
Приведем критерии компактности в конкретных метрических пространствах.
Определение 12. Множество M непрерывных на отрезке [0, 1] функций называется равномерно ограниченным, если $C: |x(t)| £ C, "tÎ[0, 1], "xÎM.
Определение 13. Множество M непрерывных на отрезке [0, 1] функций называется равностепенно непрерывным, если для "e>0 $d(e)>0: |t1 - t2| < d, t1, t2Î[0,1] ? |x(t1) - x(t2)|0, что из |t1 – t2| < d, t1, t2Î[0, 1] ? |xk(t2) – xk(t2)| < e для любого k = 1, 2, ..., n. Возьмем произвольное хÎМ. Тогда $m такое, что |x(t) – xm(t)| < e для "tÎ[0, 1]. В силу неравенств
|x(t1) – x(t2)| £ |x(t1) – xm(t1)| + |xm(t1) – xm(t2)| + |xm(t2) – x(t2)| < e + e + e = 3e
для |t1 – t2| < d, t1, t2 Î [0, 1], следует, что |x(t1) – x(t2)| £ 3e, если |t1 – t2| < d, t1, t2 Î[0, 1]. Этим показана равностепенная непрерывность функций из множества М.
Достаточность. Пусть множество функций M Ì C[0, 1] - равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Построим для М компактную e-сеть. По предположению о равностепенной непрерывности множества М для "e >0 $ d>0: из |t1 – t2|0 $ N(e): 
< e для "n?N,"xÎM.
Необходимость. Необходимость 1) условия очевидна. Докажем второе условие. Пусть y(1), y(2),..., y(r) - конечная e/2 - сеть для множества М. В силу конечности этого набора для "e>0 $ N(e): 
< e/2 для "n?N, m = 1, 2,..., r. Тогда для произвольного хÎM выберем у(m) так, что d(x, y(m)) < e/2. В результате имеем: £ 
£ d(x, y(m)) + e/2 < e. Получаем необходимое неравенство.
Достаточность. Пусть х = (х1, х2,..., хm, xm+1, xm+2,..) и Pmx = (x1, x2,..., xm, 0, 0,...), Qmx = x - Pmx. По условиям теоремы для "e>0 $ m: d(Qnx, 0)