<<
>>

6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность С[0, 1]

Теорема 7 (Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то существует последовательность многочленов {Рn(х)}, равномерно на отрезке [а, b] сходящаяся к f(x), т. е. для любого e > 0 найдется многочлен Рn(х) с номером n, зависящим от e, такой, что |Pn(x) - f(x)| < e сразу для всех х из отрезка [а, b].

Иными словами, непрерывную на сегменте [а, b] функцию f(x} можно равномерно на этом отрезке приблизить многочленом с наперед заданной точностью e.

Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем вместо сегмента [а, b] рассматривать сегмент [0, 1], поскольку линейным преобразованием х = (b – a)t + a, один отрезок переводится в другой. Кроме того, достаточно доказать теорему для непрерывной функции f(x), об­ращающейся в нуль на концах отрезка [0, 1], т. е. удовлетворяю­щей условиям f(0) = 0 и f(1) = 0. В самом деле, если бы f(x) не удовлетворяла этим условиям, то, положив g(x) = f(x) – f(0) - x[f(l) -f(0)] мы получили бы непрерывную на отрезке [0, 1] функцию g(x), удовлетворяющую условиям g(0) = 0 и g(1) = 0. Тогда из возмож­ности представления g(x) в виде предела равномерно сходящей­ся последовательности многочленов вытекало бы, что и f(x) представима в виде предела равномерно сходящейся последовательно­сти многочленов (так как разность f(x) – g(x) является многочле­ном первой степени).

Итак, пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [0, 1] и удов­летворяет условиям f(0) = 0, f(1) = 0. Такую функцию f(x) можно продолжить на всю прямую, положив ее равной нулю за преде­лами отрезка [0, 1], и утверждать, что так продолженная функция является в силу теоремы Кантора равномерно непрерывной на всей прямой.

Рассмотрим следующую последовательность многочленов степени 2n:

Qn(x) = cn(1 – x2)n (n = 1, 2, …), (2)

у каждого из которых постоянная сп выбрана так, чтобы выпол­нялось равенство

(n = 1, 2, …). (3)

Очевидно, что все многочлены принимают неотрицательные значения. Не вычисляя точного значения постоянной сn оценим ее свер­ху. Для этого заметим, что для любого номера n = 1, 2, ... и для всех х из отрезка [0, 1] справедливо неравенство

(1 - х2)n ? 1 - nx2. (4)

(данное неравенство легко доказывается если показать, что функция h(x) = (1 - х2)n - 1 + nx2 равна нулю в нуле и возрастает на отрезке – производная положительна).

Применяя неравенство (4) и учитывая, что при лю­бом n ?1, будем иметь

. (5)

Из (2), (3) и (5) заключаем, что для всех номеров n = 1, 2, ... справедлива следующая оценка сверху для постоянной сn

сn (6)

Из (6) и (2) вытекает, что при любом d > 0 для всех х из сегмента d £ |x| £1 справедливо неравенство

0 £ Qn(x) £ (1 - d2)n. (7)

Из (7) следует, что при любом фиксированном d > 0 после­довательность неотрицательных многочленов {Qn(x)} сходится к нулю равномерно на сегменте d £ |x| £1.

Положим теперь для любого х из отрезка [0, 1]

Pn(x) = (8)

и убедимся в том, что для любого n = 1, 2, ... функция Рп(х) есть многочлен степени 2n, причем {Рn(х)} и является искомой по­следовательностью многочленов, равномерно сходящейся на отрезке [0, 1] к функции f(x).

Так как изучаемая функция f(x) равна нулю за пределами сег­мента [0, 1], то для любого х из сегмента [0, 1] интеграл (8) можно записать в виде

Pn(x) =

Заменяя в последнем интеграле переменную t на t–x, мы при­дадим ему вид

Pn(x) = (9)

Из (9) и (2) ясно, что функция Рn(х) представляет со­бой многочлен степени 2n.

Остается доказать, что последовательность {Рn{х)} сходится к f(x) равномерно на отрезке [0, 1]. Фиксируем произвольное e > 0. Для фиксированного e в силу равномерной непрерывности f(х) на всей числовой прямой найдется d > 0 такое, что

|f(x) - f(y)| < e/2 при |х – у| < d. (10)

Заметим еще, что так как f(x) непрерывна на отрезке [0, 1], то она ограничена на этом отрезке, а следовательно, и всюду на числовой прямой. Это означает, что существует постоянная А та­кая, что для всех х

|f(x)| £ A. (11)

Используя (3), (6), (10) и (11) и учитывая неотрица­тельность Qn(x), оценим разность Pn(x) – f(x). Для всех х из отрезка [0, 1] будем иметь

| Pn(x) – f(x)| =

.

Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что для всех достаточно больших номеров n справедливо неравен­ство .

Теорема 8. Пространство С[a, b] сепарабельно.

Доказательство. Рассмотрим в пространстве C[a, b] множество всех многочленов Z, коэффициенты которых являются рациональными числами. Это множество можно рассматривать как счетное объединение счетных множеств (по координатам). Покажем, что это множество всюду плотно в C[a, b].

Пусть f(x) Î C[a, b]. В силу теоремы Вейерштрасса для произвольного e > 0 найдется многочлен Pn(x) = а0 + а1х + …+anxn такой, что d(f(x), Pn(x)) < e/2. Выберем в множестве Z многочлен Zn = b0 + b1x + … + bnxn такой, чтобы |ak – bk| < e/(2n?max(|a|, |b|, |a|n, |b|n)). Тогда, как нетрудно проверить, d(Pn(x), Zn) < e/2. В силу неравенства треугольника это доказывает всюду плотность счетного множества Z в С[a, b].

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность С[0, 1]:

  1. 6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность С[0, 1]