7. Сепарабельные топологические пространства

Определение 16. Если топологическое пространство X имеет не более чем счетное подмножество А, замыкание которого совпадает с Х, то оно называется сепарабельным. В противном случае пространство называется несепарабельным.

Для метрического пространства (Х, d) это означает, что существует последовательность x₁, x₂,... элементов из Х такая, что для "xÎX,"e>0 $ n(e, x): d(x_n, x) < e.

Пример 20. s - сепарабельное пространство. Действительно, рассмотрим j_r подмножество из s последовательностей, координаты которых являются рациональными числами и начиная с некоторого номера все координаты равны 0. Если обозначить j_r(n) – множество последовательностей, у которых первые n координат рациональные числа, а последующие координаты 0, то это множество будет счетным, как конечное объединение счетных множеств. Так как j_r = j_r(n), то оно счетно, как счетное объединение счетных множеств. С другой стороны, для заранее заданного e>0 найдется номер m такой, что

.

Тогда для любой последовательности х = {x_n} и любого n найдется такое рациональное число r_n, что |r_n - x_n|< e/2. Обозначим через r последовательность, у которой первые m координат равны r_n а последующие равны 0. Тогда r Î j_r и

Пример 21. l_p, 1£p0 и несчетное множество {x_a}: d(x_a, x_b) ? d, a ? b, Х – несепарабельное пространство.

Доказательство. От противного предположим, что Х - сепарабельно. Тогда существует счетное множество {y_k} такое, что для e = d/2, S_e(y_k) = X.

Для доказательства несепарабельности пространства m достаточно воспользоваться этой леммой. В качестве нужного семейства рассматриваются элементы из m, у которых координаты равны либо 0, либо 1. Тогда расстояние между различными элементами этого семейства равно единице. Используя диагональный метод Кантора можно убедиться, что рассмотренное семейство несчетно.

Отметим без доказательства, что сепарабельность топологического пространства влечет наличие в нем счетной базы. Обратное вообще говоря неверно. Однако в случае метрических пространств, наличие счетной базы топологии влечет сепарабельность.