<<
>>

2. Топология и топологическое пространство. База топологии

Определение 1 (основное определение). Пусть Х – произвольное множество и t = {U} – совокупность его подмножеств, обладающая следующими свойствами (аксиомы топологии):

1) ?, Х Î t;

2) объединение любой совокупности множеств из t принадлежит t;

3) пересечение любого конечного числа множеств из t принадле­жит t.

Такая совокупность подмножеств t называется топологией на X. Множество Х с заданной на нем топологией t называется топологическим пространством и обозначается (X, t), подмножества из совокупности t называются открытыми (в пространстве (X, t)).

Пример 1. Х – числовая прямая R1. Топологию на R1 можно за­дать следующим набором подмножеств: пустое множество ?, всевоз­можные интервалы и их объединения U = . Аксиомы топологии проверяются несложно.

Пример 2. X = R2. Открытым множеством назовем всякое множество в X = R2, которое вместе с каждой своей точкой содер­жит достаточно малый открытый круг с центром в этой точке, а также пустое множество. Это определение соответствует стандартному пониманию открытых множеств, даваемому в курсе «Математического анализа». Легко проверить, что система всех откры­тых множеств в Х = R2 образует топологию.

Пример 3. Х – произвольное множество. Совокупность tmin = {?, X} очевидно задает топологию на Х. Таким образом определенная топология на Х называется минимальной или тривиальной.

Пример 4. Х – произвольное множество, tmax = {всевозможные подмножества X}. Совокупность t – топология на Х. Эта топология называется максимальной или дискретной.

Таким образом, на од­ном и том же множестве можно ввести различные топологии, на­пример, тривиальную и дискретную.

С понятием открытого множества в топологическом пространстве (X, t) тесно связано двойственное понятие замкнутого множества: так называют множество, дополнение которого до Х открыто. Иными словами, если U Î t, то X\U замкнуто, и обратно: если F замкнуто, то X\F открыто.

В силу двойственного характера операций в теории множеств со­вокупность {F} всех замкнутых множеств топологического про­странства (X, t) удовлетворяет следующим свойствам:

1) X, ? Î {F};

2) пересечение любой совокупности множеств из {F} принадле­жит {F};

3) объединение любого конечного числа множеств из {F} при­надлежит {F}.

Эти свойства полностью характеризуют замкнутые множества топологического пространства (X, t), а следовательно, и тополо­гию t (так как множества из t – это дополнения замкнутых мно­жеств) и могут быть приняты в качестве аксиом топологического пространства. Таким образом, топологию на Х можно задать, ука­зав совокупность {F} подмножеств X, удовлетворяющую свойствам 1) – 3); в этом случае топологией на Х будет совокупность {X\F}.

Различные топологии на одном и том же множестве образуют частично упорядоченное множество.

Определение 2. Говорят, что топология t на Х слабее топологии t' на Х (t £ t'), если из того, что U Î t, следует, что U Î t', т. е. если t Ì t'. Топология t' в этом случае сильнее топологии t.

Заметим, что для всякой топологии t имеем tmin £ t £ tmax.

Очень часто получить описание всей топологии, как совокупности некоторых подмножеств Х, затруднительно. Для задания топологии используют построение совокупности подмножеств, порождающих топологию.

Определение 3. Совокупность Â = {V} открытых множеств топологического пространства (Х, t) называется базой топологии t, если для всякого открытого множества U Î t и для всякой точки х Î U найдется такое множество V Î Â, что х Î V и V Ì U.

Следовательно, всякое непустое открытое множество топологического пространства (Х, t) можно представить в виде объединения открытых множеств из базы топологии t (это свойство характеризует базу и часто принимается за определение базы). Достаточно взять объединение всех открытых множеств из базы, которые вложены в это множество.

Пусть {Va} – некоторая совокупность подмножеств Х. Возникает вопрос: при каких условиях можно построить топологию на Х так, чтобы семейство {Va} было базой этой топологии?

Теорема 1 (критерий базы). Пусть {Va}aÎА – некоторая не пустая совокупность подмножеств Х. Тогда Â = {Va}aÎА является базой некоторой топологии на Х, если

1) Х = ,

2) для каждого Va и каждого Vb из Â и каждого x Î Va Ç Vb существует Vg Î Â такое, что х Î Vg Ì Va Ç Vb.

Доказательство. Если Â = {Va}aÎА – база топологии, то Va Ç Vb – открытое множество, и по определению базы для каждого x Î Va Ç Vb существует Vg Î Â такое, что х Î Vg Ì Va Ç Vb.

Обратно: если Â = {Va}aÎА удовлетворяет условию теоремы. Будем говорить, что множество U Ît, если U = Vb. Принадлежность Х Î t вытекает из условия 1). Принадлежность ? Î t является следствием множественного равенства Vb = ?. Вторая аксиома проверяется непосредственно: , т.е. объединение множеств из t представимо в виде объединения множеств из Â и, следовательно, также принадлежит t. Проверим третью аксиому. Для этого возьмем произвольные два множества U1, U2 Î t. Согласно определению системы t справедливы представления U1 = Vb, U2 = Vd. Тогда

U1ÇU2 = (Vb)Ç(Vd) = ( VbÇ Vd).

Для доказательства нам достаточно показать, что множество VbÇ Vd = , где Â. Тогда U1ÇU2 = , т.е. объединение множеств из Â, а следовательно U1ÇU2 из t. В качестве системы множеств в доказываемом равенстве берем все множества из Â, удовлетворяющие условию Ì VbÇ Vd. Тогда включение Ì VbÇ Vd очевидно. Докажем обратное включение. Возьмем произвольное х Î VbÇ Vd. По определению системы Â найдется Î Â такой, что х Î Ì VbÇ Vd. Это означает, что х Î и справедливо включение VabÇ Vad Ì .

Заметим, что в доказательстве мы указали и способ построения топологии, если задано семейство Â = {Va}aÎА, удовлетворяющее условию теоремы.

Пример 5. Пусть Х = Rn есть n-мерное векторное пространство. В качестве базы топологии на Rn можно взять систему множеств Â = {Va, b }, где Va, b = {х Î Rn: аi < xi < bi, i = 1, ..., n}, xi – координата вектора х = (x1, x2,…, xn); а = (а1, a2,…, аn), b = (b1, b2,..., bn) – произвольные векторы в Rn, причем аi < bi.

Такие множества Va, b называются открытыми параллелепипедами в Rn.

В дальнейшем, если не будет указано, какая именно топология рассматривается на Rn, мы будем считать, что Rn снабжено топологией, база которой указана в примере 5.

В топологическом пространстве естественно выбирать базу топологии с возможно меньшим количеством элементов. Например, в R1 множества V = (t1, t2), где t1, t2 рациональные числа, образуют базу топологии из счетного числа элементов.

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 2. Топология и топологическое пространство. База топологии:

  1. 6. Теория стрельбы
  2. 2. Топология и топологическое пространство. База топологии
  3. 7. Сепарабельные топологические пространства