<<
>>

5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина

Определение 6. Последовательность функций { fn(x)} на множестве Е сходится почти равномерно к функ­ции f(x), если для любого e > 0 найдется такое множество Аe ÎS меры m(Аe) < e, что последовательность сходится равномерно к функции f(x) на множестве Е\Аe.

Из почти равномерной сходимости следует сходимость почти всюду. В самом деле, возьмем в этом определении величину e = 1/n и соответствующие множества Аeп меры m(Аn) < 1/п. Тогда, полагая А = , мы полу­чим m(A) = 0, при этом предел последовательности су­ществует и равен f(x) = limfn(x) при всех х Î Е\А.

Теорема Егорова утверждает, что на множествах ко­нечной меры почти равномерная сходимость равносильна сходимости почти всюду.

Теорема 9 (теорема Егорова). Если m(Х) < ¥ и по­следовательность функций fn(x) ® f(x) почти всюду на X, то fn(x) сходится к f(x) почти равномерно на Х.

Доказательство. Из критерия сходимости почти всюду (теорема 3) следует, что для каждого т найдется такое пm , что

.

Положим . Тогда .

Если теперь задано некоторое g > 0, то, выбирая натураль­ное т так, чтобы . получим, что при k > пт справедливо неравенство: |fk(x) – f(x)| £ 1/m < g для любого x ÎЕe, а это и требовалось установить.

Пример 1 последовательности функций показывает, что без условия конечности меры тео­рема Егорова, вообще говоря, неверна.

Следующая теорема Лузина устанавливает связь меж­ду свойствами измеримости и непрерывности функций. Рассмотрим измеримое пространство (R, S, m) меры Лебега на прямой R.

Определение 7. Говорят, что функция f: Е ® R обладает С-свойством на множестве Е Ì R, если для любого e > 0 найдется такое измеримое множество Аe ÎS с мерой m(Ae) < e, что на его дополнении Е \Аe функция f непрерывна.

Теорема 10 (Лузина). Предположим, что функция f определена на измеримом множестве Е Ì R. Тогда функция f измерима в том и только в том случае, когда она обладает С-свойством на множестве Е.

Необходимость. Обозначим через {Ik} систему всех интервалов на прямой R с рациональными концами. Эта система счетна, так что индекс k Î N.

В силу свойства измеримости множества f -1(Ik) Ì R для любого e > 0 существуют такое открытое Gk, и такое замкнутое Fk множества на прямой R, что выполняются следующие условия:

Fk Ì f -1(Ik) Ì Gk, m(Gk – Fk) < e/2k.

Тогда измеримое множество Аe = имеет меру m(Аe) < e.

Так как каждое из множеств (Gk – Fk) является открытым, как разность открытого и содержащегося в нем замкнутого множества, то множество Аe открыто. Так как справедливо равенство (докажите)

f -1(Ik) - Аe = GkÇ(E - Аe),

то множество f -1(Ik) - Аe является открытым в E - Аe в индуцированной топологии. Поскольку любой интервал I Ì R является объединением интервалов с рациональными концами, то его прообраз f -1(I) также открытый в E - Аe. Следовательно, наша функция f непрерывна на множестве E - Аe.

Достаточность. Если функция обладает С-свойством на множестве Е, то для каждого kÎ N найдется такое измеримое множество Аk меры m(Аk) < 1/k, что на его дополнении Е\Аk функция будет непрерывной. Ясно, что множество А = - имеет меру нуль.

По условию непрерывности на E\Ak для любого ин­тервала I Ì R множество f -1(I) – Аk является открытым в Е\Аk. Поэтому найдется такое открытое множество Gk, что f -1(I) – Аk = GkÇ(E – Аk). Отсюда множество

f -1(I) – А =

будет открытым и следовательно измеримым. Поэтому прообраз f -1(I) измерим, а значит и функция f измерима на множестве Е.

Задачи

1. Пусть (X, S, m) – измеримое пространство, множества А и А1 из S, причем А1 Ì А, а функция f (x) измерима на А. Доказать, что f (x) измерима на А1.

2. Пусть (X, S, m) – измеримое пространство, множества Аi из S, а функция f (x) измерима на Аi при всех i. Доказать, что f (x) измерима на множестве .

3. Пусть (X, S, m) – измеримое пространство, множество А из S, - некоторое всюду плотное множество в R, а функция f : А ® RÈ{–¥}È{+¥} такова, что для каждого n множества S. Доказать, что функция f (x) измерима на А.

4. Пусть n ? 1 и G Ì Rn – открытое множество. Пусть также функция f (x) непрерывна на G. Доказать, что f (x) измерима на G относительно классической меры Лебега.

5. Построить функцию f (x) на [0, 1], измеримую на [0, 1] относительно меры Лебега, но разрывную в каждой точке.

6. Пусть (X, S, m) измеримое пространство с полной мерой m, АÎS, а функция f (x) измерима на А. Пусть g(x) – функция эквивалентная f (x) на А. Доказать, что g(x) – измеримая функция на А.

7. Пусть (X, S, m) измеримое пространство, АÎS, а функция f 3(x) измерима на А. Доказать, что f (x) также измерима на А.

8. Построить такую функцию f (x) на [0, 1], что f 2(x) измерима относительно меры Лебега на [0, 1], но f (x) неизмерима относительно этой меры.

9. Построить непрерывную неубывающую функцию j(х) на [0, 1], не являющуюся на этом отрезке постоянной, для которой j¢(х) = 0 почти всюду на [0, 1].

10. Пусть (X, S, m) – измеримое пространство, множество А из S, и – последовательность функций, измеримых на А. Доказать, что множество В = {x ÎA: существует } измеримо, и что функция измерима на В.

11. Пусть (X, S, m) – измеримое пространство, множество А из S, и - последовательность функций, измеримых на А. Доказать, что множество С = {x ÎA: существует конечный } измеримо, и что функция измерима на С.

12. Пусть (a, b) Ì R и f (x) Î С(a, b). Доказать, что множество А = {x Î(a, b): существует конечная f ¢(x)} измеримо относительно меры Лебега на (a, b) и что f ¢(x) измерима на А.

13. Пусть m(А) < ¥ и fn(x) ? f (x) и gn(x) ? g (x) при n ® ¥ на А, причем f (x) ? 0 на А и fn(x) ? 0 на А при каждом n. Доказать, что при n ® ¥ на А.

14. Построить функции и функцию f (x), конечные и измеримые относительно меры Лебега на R, для которых fn(x) ? f (x) при n ® ¥ на R, но fn2(x) не сходится по мере к f 2(x) при n ® ¥ на R.

15. Построить функции и функцию f (x), конечные и измеримые относительно меры Лебега на (0, ¥), для которых fn(x) ? f (x) при n ® ¥ на (0, ¥), но не сходится по мере к при n ® ¥ на (0, ¥).

16. Пусть последовательность сходится по мере на множестве А. Доказать, что она фундаментальна по мере, т.е. для любых e > 0 и g > 0 существует такое N, что при n, m ? N выполнено неравенство

.

17. Пусть последовательность фундаментальна по мере на множестве А. Доказать, что существует такая конечная измеримая функция f (x) на А, что fn(x) ? f (x) при n ® ¥ на А.

18. Доказать, что последовательность не сходится по мере на [0, p].

19. Доказать, что последовательность , где fn(x) = xn, сходится по мере на [0, 1], но не сходится по мере на [0, 2].

20. Доказать, что если f (x) имеет производную f ¢(x) во всех точках отрезка [a, b], то эта производная является измеримой функцией на отрезке [a, b].

21. Пусть последовательность сходится по мере на Е к функции f (x). Доказать, что если для всех n имеет место неравенство fn(x) £ a почти всюду на Е, то f (x) £ a почти всюду на Е.

22. Пусть c – характеристическая функция множества рациональных чисел. Доказать, что функция f ?c измерима на R независимо от того, какова функция f .

23. Пусть f – измеримая на Е функция и Е1 – произвольное измеримое множество на числовой прямой. Обязано ли множество f -1(E1) быть измеримым?

24. Пусть f – непрерывная на R функция. Показать, что ее график имеет на плоскости нулевую меру.

25. Пусть f – монотонная на R функция. Показать, что ее график имеет на плоскости нулевую меру.

26. Пусть множество Е Ì [a, b] измеримо. Доказать, что функция f (x) = m(EÇ[x, b]) монотонна и непрерывна на [a, b].

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина:

  1. 5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина