Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Теорема. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно для всякого значения , по абсолютной величине меньшего , то есть или в интервале .

Доказательство.

Вследствие сходимости рада его общий член должен стремиться к нулю, поэтому все члены этого ряда равномерно ограничены: существует такое постоянное положительное число , что при всяком имеет место неравенство .

Тогда данный ряд можно записать так:

В силу сделанного замечания можно записать ряд

, который образует геометрическую прогрессию со знаменателем . Если , то , и прогрессия сходится. Если больший ряд сходится, то будет сходиться и данный ряд.

Следствие. Если степенной ряд расходится при значении , то ряд расходится при всяком значении , большем по абсолютной величине , .

Из теоремы Абеля и следствия из этой теоремы вытекает следующее предположение. Для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число , что для всех , , ряд абсолютно сходится, а для значений , , ряд расходится.

Что касается значений или , то здесь возможны ситуации, когда ряд сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной.

Определение. Число такое, что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , , расходится, называется радиусом сходимости ряда, а интервал называется интервалом сходимости.

Для ряда интервал сходимости имеет вид с центром в точке

Для ряда интервал сходимости имеет вид с центром в точке

-R cx. R x

расх ₀ расх

В граничных точках поведение ряда требует дополнительного исследования.

Можно указать правило для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.