<<
>>

Теоремы Абеля.

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех .

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k– некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x

……………………………….

Итого, получаем:

Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

Находим дифференциал функции и интегрируем его в пределах от 0 до х.

Пример. Разложить в ряд функцию

Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.

(См. Функция y = ln(1 + x).) Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.

При получаем по приведенной выше формуле:

Разложение в ряд функции может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.

Тогда получаем:

Окончательно получим:

Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:

1 1 + x2

1 + x2 1 – x2 + x4– …

– x2

– x2 – x4

x4

x4 + x6

………….

Тогда

Окончательно получаем:

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Теоремы Абеля.:

  1. О СМЫСЛЕ ЧИСЕЛ
  2. §61. Функциональные ряды
  3. § 40. Антропологизм в логике Б. Эрдманна
  4. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  5. Содержание дисциплины
  6. Теоремы Абеля.
  7. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  8. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  9. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  10. 2.5. Представление регулярных функций рядами
  11. 4.3. Блок текущего контроля
  12. Введение
  13. БИБЛИОГРАФИЯ