<<
>>

Теорема Лагранжа.

(Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) французский математик)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e

a < e < b, такая, что .

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Отношение равно угловому коэффициенту секущей АВ.

у

В

А

0 а e b x

Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.

Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию

F(x) = f(x) – yсек АВ

Уравнение секущей АВ можно записать в виде:

Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка e, a < e < b, такая что F¢(e) = 0.

Т.к. , то , следовательно

Теорема доказана.

Определение. Выражение называется формулой

Лагранжа или формулой конечных приращений.

В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.

Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:

,

где 0 < q < 1, Dx = b – a, Dy = f(b) – f(a).

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Теорема Лагранжа.:

  1. § 29. Некоторые теоремы о дифференцируемыхфункциях
  2. § 52, Частные производные первого и высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
  3. 3.3. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.
  4. Содержание дисциплины
  5. Теорема Лагранжа.
  6. Теорема Коши.
  7. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  8. Теорема Лагранжа. Теорема Коши.
  9. 20. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа.
  10. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  11. 5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).
  12. Тема 16. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
  13. Содержание
  14. 1.1.2. Лемма Лагранжа
  15. 1.4.1. Теорема (необходимое условие экстремума в простейшей задаче в терминах интегранта)
  16. 1.5.1. Теорема. (Необходимое условие экстремума в задаче с подвижными концами).
  17. 1.6.1. Теорема (необходимое условие экстремума в задаче Лагранжа).
  18. 1.6.4. Теорема (необходимое условие экстремума в изопериметрической задаче).
  19. Теорема о среднем значении
  20. 1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха