<<
>>

Метод множителей Лагранжа

Дана задача нелинейного программирования

при ограничениях:

Предположим, что функции f(x1, х2,..., xп) и gi(x1, x2,..., xп) непрерывны вместе со своими первыми частными производными.

Ограничения заданы в виде уравнений, поэтому для решения задачи воспользуемся методом отыскания условного экстремума функции нескольких переменных.

Для решения задачи составляется функция Лагранжа

где λi — множители Лагранжа.

Затем определяются частные производные:

Приравняв к нулю частные производные, получим систему

Решая систему, получим множество точек, в которых целевая функция L может иметь экстремальные значения. Следует отметить, что условия рассмотренной системы являются необходимыми, но недостаточными. Поэтому не всякое полученное решение определяет точку экстремума целевой функции. Применение метода бывает оправданным, когда заранее предполагается существование глобального экстремума, совпадающего с единственным локальным максимумом или минимумом целевой функции.

Пример. Найти точку условного экстремума функции

при ограничениях:

Решение. Составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные функции Лагранжа по переменным x1, x2, x3, λ1, λ2.

Приравняв к нулю полученные выражения, решим систему

Откуда λ1 = –x2, λ2 = – x2/2, х1 = –2, x2 = –4, x3 = 4, L = –8.

Определим характер экстремума, изменяя полученные значения переменных. Измененные значения должны удовлетворять заданной системе ограничений. Возьмем х1 > –2, например x1 = –1, тогда из системы ограничений получим х2 = –3, x3 = 7/2, L = –15/2. Возьмем х1 < –2, например х1 = –3, тогда получим х2 = –5, x3 = 9/2, L = –15/2. Следовательно, L = –8 — минимальное значение функции.

Ответ. Точка экстремума х1 = –2, x2 = –4, x3 = 4, при этом максимальное значение функции L = –8.

Расчет экономико–математической модели при нелинейных реализациях продукции

Рассмотрим применение выше приведенных методов на примере решения задачи оптимальной реализации продукции.

Пример. Мукомольный комбинат реализует муку двумя способами: в розницу через магазин и оптом через торговых агентов. При продаже x1 кг муки через магазин расходы на реализацию составляют х12 ден. ед., а при продаже x2 кг муки посредством торговых агентов — х22 ден. ед.

Определить, сколько килограммов муки следует продавать каждым способом, чтобы затраты на реализацию были минимальными, если в сутки выделяется для продажи 5 000 кг муки.

Решение. Составим математическую модель задачи.

Найдем минимум суммарных расходов

при ограничениях:

Для расчета модели используем метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные функции F по x1, x2 и λ, приравняем их к нулю, получим систему уравнений

откуда λ = –5 000, x1 = 2 500, x2 = 2 500, L = 12 500 000 ден. ед.

Давая х1 значения больше и меньше 2500, находим L и из определения экстремума функции получаем, что L при х1 = x2 = 2 500 достигает минимума.

Таким образом, для получения минимальных расходов необходимо расходовать в сутки через магазин и торговых агентов по 2 500 кг муки, при этом расходы на реализацию составят 12 500 000 ден. ед.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Метод множителей Лагранжа:

  1. 1.3. Анализ научно-прикладных разработок в области снабжения нефтепродуктами автотранспорта
  2. Случай 1 - фиксированные объемы работ, любой агент может выполнять любое количество работ.
  3. 2.5. Оперативное управление научными проектами
  4. 10.1. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
  5. 10.2. Метод множителей Лагранжа
  6. СОВРЕМЕННЫЙ ПРОЦЕСС ПРОЕКТИРОВАНИЯ МАШИН, ЕГО СОДЕРЖАНИЕ И ОСОБЕННОСТИ
  7. Содержание дисциплины
  8. ПЕРЕЧНЬ ТЕМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
  9. Условный экстремум.
  10. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
  11. Метод множителей Лагранжа
  12. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  13. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  14. 3. Вариационные методы
  15. Метод множителей Лагранжа
  16. Вопросы экзаменационных билетов
  17. Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия локального условного экстремума функции нескольких переменных.
  18. Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия локального условного экстремума функции нескольких переменных.