1.1.2. Лемма Лагранжа

Если функция непрерывна на отрезке и

(2)

при любой функции , бесконечно дифференцируемой на отрезке и обращающейся на его концах в нуль: то на отрезке .

? Допустим, что имеется точка , в которой , например . Тогда по свойству сохранения знака непрерывной функцией, в некоторой окрестности точки будет найдется отрезок такой, что ( или могут совпадать с одним из концов отрезка ).

По условию леммы, для функции , построенной в примере 1.1 для этого отрезка, равенство (2) тоже выполняется, но, поскольку вне , то фактически .

C другой стороны . Возьмем На этом отрезке функция непрерывна и отрицательна.

По теореме Вейерштрасса она имеет в некоторой точке максимальное значение , которое, конечно, тоже отрицательно: поэтому Значение этого интеграла уменьшится, если добавим и , так что тем более Таким образом, получим , что противоречит равенству . Следовательно, допущение неверно. ■

Следующую теорему сформулируем без доказательства.