1.1.2. Лемма Лагранжа
Если функция 
непрерывна на отрезке 
и
(2)
при любой функции 
, бесконечно дифференцируемой на отрезке и обращающейся на его концах в нуль: 
то 
на отрезке .
? Допустим, что имеется точка 
, в которой 
, например 
. Тогда по свойству сохранения знака непрерывной функцией, в некоторой окрестности точки 
будет 
найдется отрезок 
такой, что 
(
или 
могут совпадать с одним из концов отрезка ).
По условию леммы, для функции 
, построенной в примере 1.1 для этого отрезка, равенство (2) тоже выполняется, но, поскольку 
вне 
, то фактически 
.
C другой стороны  . Возьмем  На этом отрезке функция  непрерывна и отрицательна. |  |
По теореме Вейерштрасса она имеет в некоторой точке 
максимальное значение 
, которое, конечно, тоже отрицательно: 
поэтому 
Значение этого интеграла 
уменьшится, если добавим 
и 
, так что тем более 
Таким образом, получим 
, что противоречит равенству . Следовательно, допущение неверно. ■
Следующую теорему сформулируем без доказательства.