1.1.1. Пример.
Построим бесконечно дифференцируемую функцию, положительную на заданном интервале 
и равную нулю вне этого интервала.
? Покажем сначала, что функция 
бесконечно дифференцируема (т.е.
. В точках 
это очевидно: если 
, то 
, если 
, то 
можно найти по правилам дифференцирования. При имеем 
и т.д. Заметим, что производная любого порядка имеет вид
,
где 
некоторый многочлен от 
и т.д.
В точке 
производные придется вычислять по определению производной:
(если пределы при 
слева и справа существуют и совпадают, то их общее значение и будет 
).
Ищем 
так как экспонента растет быстрее 
. Нашли 
.
Ищем
так как экспонента растет быстрее любого многочлена. Нашли 
.
Так можно найти при любом 
: если найдено, что 
, то
Нашли 
.
Итак, 
бесконечно дифференцируема во всех точках интервала .
 |  |  |
Функции 
тоже бесконечно дифференцируемы во всех точках 
как сложные функции, составленные из бесконечно дифференцируемых звеньев (например, 
состоит из бесконечно дифференцируемых функций 
(как было показано) и 
).
бесконечно дифференцируема на . Это и есть искомая функция. Она положительна на интервале , так как
 |   и равна нулю при  . |