1.1.1. Пример.

? Покажем сначала, что функция бесконечно дифференцируема (т.е.

и т.д. Заметим, что производная любого порядка имеет вид

,

где некоторый многочлен от

и т.д.

В точке производные придется вычислять по определению производной:

(если пределы при слева и справа существуют и совпадают, то их общее значение и будет ).

Ищем

так как экспонента растет быстрее . Нашли .

Ищем

так как экспонента растет быстрее любого многочлена. Нашли .

Так можно найти при любом : если найдено, что , то

Нашли .

Итак, бесконечно дифференцируема во всех точках интервала .

Функции тоже бесконечно дифференцируемы во всех точках как сложные функции, составленные из бесконечно дифференцируемых звеньев (например, состоит из бесконечно дифференцируемых функций (как было показано) и ).

бесконечно дифференцируема на . Это и есть искомая функция. Она положительна на интервале , так как

и равна нулю при .