>>

1.1. Введение и вспомогательные утверждения

Вспомним понятие экстремума числовой функции числового аргумента :

Точка – точка локального максимума (минимума), а значение локальный максимум (минимум), если для всех точек ,

достаточно близких к , выполняется неравенство , т.е.
существует окрестность , такая, что .

При этом, если существует производная , то (необходимое условие локального экстремума). Если , то наличие или отсутствие локального экстремума проверяется с помощью достаточного признака локального экстремума.

В вариационном исчислении решают задачи на экстремум числовых функций функционального аргумента: у таких функций значениями функций тоже являются числа, но значениями аргумента является не числа, а функции. В отличие от функций векторного аргумента такие функции называют функционалами.

Пример. Среди всех гладких кривых, соединяющих точки

и , найти ту, длина которой наименьшая (решение очевидное: ).
Формализуем задачу. Обозначим множество всевозможных функций , непрерывно дифференцируемых на , т.е. гладких функций.

Нужно среди функций , принимающих заданные значения , найти ту, для которой длина графика

(1)

наименьшая.

Формула (1) каждой функции ставит в соответствие определенное число длину кривой, так что имеем отображение . Это и есть пример функционала. Аргументом функционала является гладкая кривая , а значением функции – число . При значении аргумента функционал имеет минимум, равный .

Ввиду удобства геометрического языка аргумент функционала называют «точкой», так что функционал в примере имеет минимум в точке .

Для характеристики близости точек (т.е. близости функций) вводят понятия расстояния между функциями, окрестности точки (т.е. окрестности функции). Это позволяет рассматривать вопрос об экстремуме функционала.

Рассмотрим некоторые утверждения, используемые в дальнейшем.

| >>

Еще по теме 1.1. Введение и вспомогательные утверждения:

  1. § 3. Правовой режим чрезвычайного положения
  2. Важнейшим ее итогом явилось утверждение верховенства радикально реформированного парламента во взаимоотношениях
  3. Комплектование армии происходило на основе системы конскрипции (введенная в 1798 г.
  4. Введение
  5. ВВЕДЕНИЕ
  6.   (Против «Второго размышления»46] [Сомнение I]  
  7. ГЛАВА 1. НАУКА: ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ОПРОВЕРЖЕНИЯ[107]
  8. Органы государственной власти в Российской Федерации
  9. Основные институты конституционного права
  10. 1.1. Введение и вспомогательные утверждения
  11. §1 Винеровский процесс и его свойства.
  12. §7. Диффузионные процессы и стохастические уравнения.
  13. §8. Уравнения Колмогорова.
  14. Введение
  15. ВВЕДЕНИЕ
  16. 1. Введение. Теория фонологии