1.1. Введение и вспомогательные утверждения

Вспомним понятие экстремума числовой функции числового аргумента :

Точка – точка локального максимума (минимума), а значение локальный максимум (минимум), если для всех точек ,

достаточно близких к , выполняется неравенство , т.е. существует окрестность , такая, что .

При этом, если существует производная , то (необходимое условие локального экстремума). Если , то наличие или отсутствие локального экстремума проверяется с помощью достаточного признака локального экстремума.

В вариационном исчислении решают задачи на экстремум числовых функций функционального аргумента: у таких функций значениями функций тоже являются числа, но значениями аргумента является не числа, а функции. В отличие от функций векторного аргумента такие функции называют функционалами.

Пример. Среди всех гладких кривых, соединяющих точки

и , найти ту, длина которой наименьшая (решение очевидное: ). Формализуем задачу. Обозначим множество всевозможных функций , непрерывно дифференцируемых на , т.е. гладких функций.

Нужно среди функций , принимающих заданные значения , найти ту, для которой длина графика

(1)

наименьшая.

Формула (1) каждой функции ставит в соответствие определенное число длину кривой, так что имеем отображение . Это и есть пример функционала. Аргументом функционала является гладкая кривая , а значением функции – число . При значении аргумента функционал имеет минимум, равный .

Ввиду удобства геометрического языка аргумент функционала называют «точкой», так что функционал в примере имеет минимум в точке .

Для характеристики близости точек (т.е. близости функций) вводят понятия расстояния между функциями, окрестности точки (т.е. окрестности функции). Это позволяет рассматривать вопрос об экстремуме функционала.

Рассмотрим некоторые утверждения, используемые в дальнейшем.