6.5. Примеры решений показательных уравнений

Пример. Найти решение показательного уравнения .

Решение. ОДЗ: xR.

Ответ.

Пример. Найти решение показательного уравнения

. Решение. ОДЗ: х≠0.

Ответ. x1 = 3; x2 = -1/5.

Пример. Найти решение показательного уравнения 53-x=42x-1.

Решение. ОДЗ: xR. Логарифмируем обе части уравнения по одному и тому же основанию 5:

Ответ. .

Пример. Найти решение показательного уравнения .

Решение. ОДЗ: xR. Преобразуем левую часть уравнения.

Ответ. x=5.

Пример. Найти решение показательно-логарифмического уравнения

Решение. ОДЗ: x > 0. Логарифмируем обе части уравнения по основанию 4.

Сделаем замену Имеем: или .Откуда:

Ответ.

Пример. Найти решение показательного уравнения .

Решение. ОДЗ: . .

Ответ..

Пример. Найти решение показательного уравнения. .

Решение. ОДЗ: xR. Заменой 2x=t, t>0 приводим данное уравнение к квадратному. .

Ответ. x=log210.

Пример. Найти решение показательного уравнения

Решение. ОДЗ: xR.Заметим, что Тогда уравнение примет вид

и заменой приводится к квадратному: Тогда:

1) или

2) .

Ответ.

Пример. Решить показательное уравнение

Решение. ОДЗ:xR. замена:

Тогда Ответ.

Пример. Решить показательное уравнение .

Решение. ОДЗ: .

Замена . Имеем

.

Ответ. .

Пример. Решить показательно-степенное уравнение .

Решение. ОДЗ: .

1) Находим корни исходного уравнения среди решений уравнения

. Проверкой убеждаемся, что х = 0 является корнем.

2) Если 1 + x2 > 1, то исходное уравнение эквивалентно уравнению

Ответ. х1 =0; x2 =4.