6.8. Решение показательных и логарифмических неравенств

Показательное неравенство при а>1 равносильно неравенству (знак неравенства сохраняется), а при 0< а 1 равносильно системе неравенств а при 0 < а < 1 – системе неравенств .

При решении логарифмических неравенств надо найти область определения неравенства; при потенцировании по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при потенцировании по положительному основанию, меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный. На практике удобно применять формулы:

или

Приведенные утверждения имеют место и в случае нестрогих неравенств.

Пример. Определить целое значение х, не удовлетворяющее неравенству .

Решение. ОДЗ: .

.

. Условию задачи удовлетворяет х = 2. Ответ: 2.

Пример. Найти наименьшее целое решение неравенства 5х+1 > 5х-1 + 120.

Решение. ОДЗ: .

, т.к. 5 > 1.

Условию задачи удовлетворяет х = 3.

Ответ. 3.

Пример. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

;

Решили каждое неравенство системы методом интервалов.

Пересечение этих множеств дает решение системы: .

Ответ: .

Пример. Решить неравенство .

Решение неравенства сводится к решению совокупности, состоящей из двух систем неравенств:

1) и 2)

Решение системы 1):

.

Решение системы 2):

O.

Объединяем решения систем. Ответ.

Пример. Решить неравенство .

Решение: ОДЗ: .

; .

Ответ. .

Пример. Найти область определения функции .

Применим метод интервалов при решении неравенства

, , или , , . Ответ. .