Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными
Дана система т линейных неравенств с двумя переменными
Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.
Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х1ОХ2. Построим прямую
которая является граничной прямой.
Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2.
Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплоскость 2 не содержит начала координат.
Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произвольную точку на плоскости (лучше начало координат) и подставить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.
Направление полуплоскости на рисунках показываем стрелкой.
Определение. Решением каждого неравенства системы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.
Определение. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью решения системы (ОР).
Определение. Область решения системы, удовлетворяющая условиям неотрицательности (xj ≥ 0, j = ), называется областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).
Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной областью или одной точкой.
Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР — пустое множество.
Пример. Найти ОР и ОДР системы неравенств и определить координаты угловых точек ОДР
Решение. Найдем ОР первого неравенства: х1 + 3x2 ≥ 3.
Построим граничную прямую х1 +3x2 – 3 = 0. Подставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решением неравенства является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).Аналогично найдем решения остальных неравенств системы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.
Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых
Решая систему, получим А(3/7, 6/7).
Точку В найдем как точку пересечения прямых
Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем координаты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Пример Найти ОР и ОДР системы неравенств
Решение. Построим прямые и определим решения неравенств. ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно.
Пример. Найти ОР и ОДР системы неравенств
Решение. Найдем решения неравенств. ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР — точка В.
Пример. Найти OP и ОДР системы неравенств
Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны. 
Еще по теме Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными:
- 1.3. Решение линейных неравенств
- Тема 9. Системы линейных неравенств.
- Решение произвольных систем линейных уравнений.
- 1.3. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера).
- Свойства решений линейной однородной системы уравнений.
- Тема 4 Решение систем линейных уравнений.
- 1.2. Линейные уравнения и неравенства
- Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- 1.4. Решение системы линейных уравнений
- 1.2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера
- 6.8. Решение показательных и логарифмических неравенств
- 4.3. Решение неравенств с одним неизвестным
- 1.7. Решение квадратных неравенств
- 7.3. Графическое решение задачи линейного программирования
- Глава 1. Линейная зависимость и связанные с ней уравнения и неравенства
- 4.4. Системы неравенств с одним неизвестным
- Факторное планирование позволяет оценивать линейные эффекты взаимодействия при большом числе независимых переменных...
- Сурскова Т.А.. Линейные и квадратичные зависимости, функция/х/ и связанные с ними уравнения и неравенства. Дипломная работа по алгебре. 2008, 2008
- 7.6. Методы нахождения опорного решения задачи линейного программирования
- 13. Основные понятия математической физики. Классификация линейных уравнений с часными производными второго порядка относительно функции двух переменных.