4.4. Системы неравенств с одним неизвестным
Пусть задано несколько неравенств с одним неизвестным.
Совокупность этих неравенств называют системой неравенств с одним неизвестным. Решение системы – это значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.
Решить систему неравенств – это значит найти все решения этой системы или установить, что их нет.
Две системы неравенств называются равносильными, если всякое решение одной из них является решением другой, и наоборот. Если обе системы неравенств не имеют решений, то они также считаются равносильными.
Пример. Решить систему неравенств 
Решение. Решим первое неравенство: Зх-4 < 8х + 6, -5 x < 10, х > -2. Оно выполняется при х> —2. Решим второе неравенство: 2x-1 > 5х-4, -3х > -3, х < 1. Оно выполняется при х < 1. Решим третье неравенство: 11х-9 ≤ 15х + 3, -4x ≤12, x ≥-3. Оно выполняется при х≥ -3.
Все три данных неравенства верны при -2 < x< 1 (рис. 4.2).
Ответ. -2a или х< -а.
И обратно, если x>а (a> 0), то, очевидно, | х| >а; если x< -a (a> 0), то -х>а или | х| >а.
Таким образом, условие | х| >а (а> 0) означает, что на числовой оси точка х лежит либо справа от точки а, либо слева от точки -а (рис. 4.4).
Рис. 4.4
Пример. Решить неравенство | 2x -3 | ≤5.
Решение. По свойству 1) данное неравенство равносильно двойному неравенству -5≤2х-3≤5. Так как двойное неравенство --5≤2х-3≤5 означает краткую запись двух неравенств -5 ≤ 2х - 3 и 2х - 3 ≤5, то можно применить основные свойства неравенств. Прибавляя к каждой части неравенства - 5≤2х - 3≤5 число 3, получаем -2≤2х≤8, откуда делением каждой части неравенства на число 2 находим, что 1 ≤x≤4.
Множеством решений является отрезок [-1; 4].Ответ. -1 ≤х≤4.
Пример. Решить неравенство | 1 - х | > 3.
Решение. Так как | 1 -х| =| x-1|, то имеем | х - 1|> 3. По свойству 2) это неравенство выполняется только в случае, когда х -1 > 3 или х - 1 < -3, т.е. при х> 4 или х< -2. Множество решений изображается на числовой оси двумя лучами.
Ответ. х> 4, х< -2.
Пример. Решить неравенство х2 + 4х + 4 < 25.
Решение. Запишем неравенство в виде (х + 2)2свойство многочлена можно сформулировать так: многочлен P(x) может изменить знак только при переходе через точку x = х0, где х0 − простой(или нечётной кратности) действительный корень многочлена.
Поясним на следующих примерах. Рассмотрим квадратный трехчлен (т.е. многочлен второй степени) х2 - 3х + 2. Найдем его корни x1 = 1 и x2=2 разложим квадратный трехчлен на множители: х2 - 3х + 2 = (х - 1)(x - 2).
Точки х = 1 и х = 2 разбивают числовую ось на три интервала. Из разложения квадратного трехчлена следует, что в каждом из этих интервалов трехчлен сохраняет знак. Если двигаться вдоль числовой оси слева направо, то знак квадратного трехчлена будет меняться: плюс, минус, плюс, причем смена знака происходит только при переходе через корень трехчлена. Последовательность знаков указана на рис. 4.5.
Квадратный трехчлен х2 - 2х+ 1 = (х - 1) 2 при переходе через точку х= 1 (корень трехчлена) не меняет знака (рис. 4.6).
Для решения неравенств вида (4.6.1) методом интервалов надо:
1) найти все действительные корни многочленов Р(х), Q{x);
2) оставить из найденных корней только те, которые не являются одновременно корнями многочленов Р(х) и Q(х), и расположить эти корни в порядке возрастания: х1 < х2 < . . . 0, -2х2 + x - 1 < 0 для любого х. Получаем неравенство, равносильное данному:
или 
.
Отметим на числовой оси точки х=1, х = 2, х = 3 (рис 4.7).
Для интервалов х 0.Решение. График трехчлена у = -3х2- 5х + 2 – парабола, ветви которой направлены вниз. Находим корни трехчлена: х1 = - 2 и х2 = 1/3 . Поэтому парабола пересекает ось Ох в этих точках (рис. 7.9). Неравенству -3х2 - 5х + 2 > 0 удовлетворяют те значения х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох, т.е. такие числа х, что -21.
Построим прямую x + 2y >1. Эта прямая не проходит через начало координат. Следовательно, в качестве контрольной точки целесообразно взять точку О(0; 0). Подставим координаты точки О(0;0) в неравенство, получим неправильное неравенство 0> 1. Это значит, что точка О(0; 0) не принадлежит области решений неравенства. Другими словами, полуплоскость, определяемая неравенством, не содержит точку О(0; 0). На рис. 4.11 требуемая полуплоскость заштрихована.
В общем случае множество решений системы неравенств представляет собой ограниченную или неограниченную область плоскости X0Y, линию, точку, пустое множество.
Пример 2. Решить графически систему неравенств 
Решение. Так как х +у < 1, то у < 1 -х; так как 2х-у2х-2. Множество решений неравенства х+унеравенств является множество точек координатной плоскости, ограниченное дугой AmB окружности x2 + y2 = 16 и прямой x + y = 4 (рис. 4.14).