<<
>>

4.3.2. Квадратные неравенства

Квадратным неравенством или неравенством второй степени называется неравенство вида ах2 +bx+c V 0 (a≠0); где а, b, с — заданные числа, х – неизвестное, а символ V может обозначать любой из знаков >, 0 и не имеют решений при а < 0.

Аналогично, в случае D = b2 -4ас 0 и имеют решением все действительные числа х при а < 0.

II. D=0. В этом случае, согласно равенству (4.3.1), квадратный трёхчлен представим в виде ; (D=0).Следовательно, если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то квадратный трехчлен для всех принимает значения одного знака, совпадающего со знаком коэффициента при х2; при он принимает значение равное нулю.

Поэтому в случае D= 0:1) неравенство ах2 + bх + с > 0 имеет решением любое , если а > 0, и не имеет решений, если а < 0;

2) неравенство ах2 + bх+ с < 0 имеет решением любое , если а < 0, и не имеет решений, если а >0;

3) неравенство aх2 +bх+с≥ 0 имеет решением любое х, если a>0, и единственное решение , если а < 0;

4) неравенство aх2 + bх + с ≤ 0 имеет решением любое х, если a < 0 и , если а > 0.

III. D>0. В этом случае квадратный трехчлен можно разложить на множители: aх2 + bх + с = а(х-х1)(х-х2), где x1 и х2 – действительные и различные корни квадратного трехчлена aх2 + bх + с=0.

Будем считать, что x1 0 для xх2 (оба множителя одного знака: соответственно отрицательны или положительны) и (x-x1) (х-x2) < 0 для x1 0.

Рис.4.1

Приведем геометрическое истолкование.

Графиком квадратного трехчлена у = ах2 +bх + с (а≠0) является парабола. Расположение этой параболы относительно оси Ох для различных случаев представлено на рис. 4.1.

Графический способ решения квадратных неравенств будет рассмотрен в 4.7.

Пример. Решить неравенства:

а) x2 - 5х + 6>0; б) -2х2 + х+ 1 ≥ 0; в) -2х2+ х – 1< 0.

Решение.

а) D = 25-4∙6>0; корни квадратного трехчлена действительны и различны: x1 = 2, х2 = 3. Следовательно, х2 -5х+6= (х-2)(х -3), и данное неравенство принимает вид (х - 2) (х - 3) > 0.

Решением неравенства являются числа х< 2 (оба множителя отрицательны, и произведение их положительно), а также числа х>3 (оба множителя положительны, и произведение их положительно).

Ответ. х< 2, х>3.

б) D = 1 -4 ∙ (-2) = 9>0; корни квадратного трехчлена действительны и различны: откуда следовательно, Имеем .или (при делении обеих частей неравенства на отрицательные число знак неравенства меняется на противоположный). Неравенству удовлетворяют все числа из отрезка

Ответ.

в) D= 1 - 4 ∙(-2) (-1) < 0; коэффициент при х2 отрицателен. Квадратный трехчлен -2х2 + х - 1 для любого х принимает только отрицательные значения.

Ответ. х – любое число.

<< | >>
Источник: А.И. Колосов. Пособие по математике (для дополнительных занятий со студентами 1 курса дневной формы обучения всех специальностей, а также с иностранными студентами). Под ред. проф. А.И. Колосова.– Харьков: ХНАГХ, 2005. – 80 с.. 2005

Еще по теме 4.3.2. Квадратные неравенства:

  1. Аспекты цифрового неравенства, обусловленные гендерной принадлежностью
  2. Глава 4. Преодоление неравенства: новые инициативы и лучшее практическое осуществление
  3. Преодоление неравенства: новые инициативы и лучшее практическое осуществление
  4. Тенденции развития социального неравенства
  5. Социальное неравенство
  6. 10.2.7. Неравенство и равные возможности
  7. 5В: Измерение неравенства доходов
  8. Нарастание социального неравенства как проблема постиндустриального общества
  9. § 42. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
  10.   Таблица 1. Квадратное расположение гуа в последовательности натурального ряда, приписываемой Фуси.  
  11. Пытаясь разжечь националистические настроения, под-рывные радиоголоса толкуют о некоем «социально-эконо-мическом неравенстве» наций в Советском Союзе, даже об «эксплуатации союзных республик Москвой». Как разо-блачать эти измышления?
  12. ГОБИНО Жозеф Артюр де ОПЫТ О НЕРАВЕНСТВЕ ЧЕЛОВЕЧЕСКИХ РАС
  13. "Проблема" экономического неравенства