4.3.2. Квадратные неравенства
Квадратным неравенством или неравенством второй степени называется неравенство вида ах2 +bx+c V 0 (a≠0); где а, b, с — заданные числа, х – неизвестное, а символ V может обозначать любой из знаков >, 0 и не имеют решений при а < 0.
Аналогично, в случае D = b2 -4ас 0 и имеют решением все действительные числа х при а < 0.
II. D=0. В этом случае, согласно равенству (4.3.1), квадратный трёхчлен представим в виде 
; (D=0).Следовательно, если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то квадратный трехчлен для всех 
принимает значения одного знака, совпадающего со знаком коэффициента при х2; при 
он принимает значение равное нулю.
Поэтому в случае D= 0:1) неравенство ах2 + bх + с > 0 имеет решением любое , если а > 0, и не имеет решений, если а < 0;
2) неравенство ах2 + bх+ с < 0 имеет решением любое , если а < 0, и не имеет решений, если а >0;
3) неравенство aх2 +bх+с≥ 0 имеет решением любое х, если a>0, и единственное решение , если а < 0;
4) неравенство aх2 + bх + с ≤ 0 имеет решением любое х, если a < 0 и , если а > 0.
III. D>0. В этом случае квадратный трехчлен можно разложить на множители: aх2 + bх + с = а(х-х1)(х-х2), где x1 и х2 – действительные и различные корни квадратного трехчлена aх2 + bх + с=0.
Будем считать, что x1 0 для xх2 (оба множителя одного знака: соответственно отрицательны или положительны) и (x-x1) (х-x2) < 0 для x1 0.
Рис.4.1
Приведем геометрическое истолкование.
Графиком квадратного трехчлена у = ах2 +bх + с (а≠0) является парабола. Расположение этой параболы относительно оси Ох для различных случаев представлено на рис. 4.1.Графический способ решения квадратных неравенств будет рассмотрен в 4.7.
Пример. Решить неравенства:
а) x2 - 5х + 6>0; б) -2х2 + х+ 1 ≥ 0; в) -2х2+ х – 1< 0.
Решение.
а) D = 25-4∙6>0; корни квадратного трехчлена действительны и различны: x1 = 2, х2 = 3. Следовательно, х2 -5х+6= (х-2)(х -3), и данное неравенство принимает вид (х - 2) (х - 3) > 0.
Решением неравенства являются числа х< 2 (оба множителя отрицательны, и произведение их положительно), а также числа х>3 (оба множителя положительны, и произведение их положительно).
Ответ. х< 2, х>3.
б) D = 1 -4 ∙ (-2) = 9>0; корни квадратного трехчлена действительны и различны: 
откуда 
следовательно, 
Имеем 
.или 
(при делении обеих частей неравенства на отрицательные число знак неравенства меняется на противоположный). Неравенству удовлетворяют все числа из отрезка 
Ответ. 
в) D= 1 - 4 ∙(-2) (-1) < 0; коэффициент при х2 отрицателен. Квадратный трехчлен -2х2 + х - 1 для любого х принимает только отрицательные значения.
Ответ. х – любое число.