§ 42. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен

B) dx

, Ji

cto

-

Ji

-J

ax2 + Ьх ¦+¦ с

Js

і/ax3 -j- 6г + с

dx

у/ ат1 + bx + с ¦Л

j tur3 +

, J

Для того, чтобы найти указанные интегралы, нужно вначале выделить полный квадрат из содержащегося а знаменателе квадратного трёхчлена,

Выносим коэффициент а за общую скобку.

Коэффициент при х делим на доа (имеем Ь/(2а)).

ах

3.

-- a(t2± jtV3),

. ь с Ь , 2

dx

,де ' = * + Е1 « ~ 4? ~~

Пример J, Намти интеграл J^ =

4х + Ах + 5

НИНН =

= 4(t2 + 1),

* ¦ - ¦ - J + + f +

Решение. Выделим полный квадрат: 4х2 + + 5 = 4 ?

/ = + ~, tJx = dtt Тогда

Г --= і arctgi + С = 1 arctg ^^ -ь С. tJ + 1 4 4 2

Г dx

Пример 2, Найти интеграл Ji — — ¦'¦¦¦ -

2х*

J V 2 + За; -

Решение.

= 2(тте2 - і3),

5

где I = я , m = df і= dx. Тогда

4

j = JL Г d' _

й v/2 j Vm3 - I3

arcsm — s= _L arcsin - + C.

тл n/2

Для нахождения интеграла Jjj произведём тождественное преобразование — выделим а числителе производную знаменателя и представим J2 в виде суммы двух интегралов:

X = —X = 2t№ + й J Ь = 2ад+ь _ Л 2а 2а 2а 2а *

Тогда

,Л f (Зоя + Ь) dx , _ 312

учитывая, что

W

= In [аз:2 -Ь Ьл; + с|,

Г (2ах + Ь) da: Г d(ax" + bit + с)

ах + Ьх +

ах -Ь Ъх ¦+¦ с

получим

Аналогично вычисляется интеграл J*.

Отметим, что на практике применение готовых формул длл интегралов Jn хотя н облегчает решение задачи, однако не даёт существе І того преимущества перед последовательными преобразованиями при конкретном задании коэффициентов а, bt с.

Пример 3, Найти интеграл = —— dx.

J Ах — 'їх + 17

Решение, Так как (4х2 — Ах + 17)' = — 4, то

4х2 - 4Х + 17 = 4 (а* + Ц + \ - і J = 4(t2 + 4), t = і;

r _ З Г {8х - 4) dx 1 Г tg = 3 Г d(4x* - 4s + 17) 3 S J 4я2 ~ -і-17 3 j ^ + 4 _ S J 4s* - 4х + 17

2х - 1

+ С.

+ І Л arct4 ^ 1Iri l4^ - 4:с 4 17' + haTCte

- 11) dx

yfb -\-2х — я?

Пример 4, Найти интеграл J4 =¦ |

Решение, Выделим нэ числителя подынтегральной функции производную подкоренного выражения: так как (5 + 2% — иг)' = — 2х -+- + % то

Sx - 11 - + _u = + 2) _ 3

и

5 - 2а; - х2 ^ -{х2 - 2х - 5 + 1 - 1) - -(?2 - 6) = 6 -Л2, Є = х - 1;

—I

-I

dt

Ja

(~2x + 2)dx

і

= -41 (5 + 2г - г2) 2 d (5 + 2z ™ я;2) - 3 arcsln —^ =

— +- 2х -^с* - їїагсзт % ™ 1

V6

Укажем другой способ нахождения интегралов от функций, содержащих квадратный трёхчлен (без выделения производной знаменате-

ля). После выделения полного квадрата н замены t = + получим: dx — di и

dt

J о(іг±тгї') г ±т2 а\ 2aJ)f

J2 =

dt

Тогда (см.

J І? _ 4a. + 17 ' 4 J Iі t-4 4 J Ігм Є J t''

44

= | Ь|4яа - 4® + 17f + ~ arctg + C;

Г dx = Г (8t - 3> dt _ Г T ^ Г

v/6 -

J \/o J т/6 -t3 і - i3 J

= -sVG - І2 - a axcsiu -p + с =

v6

- Л-2x - x2 - 3 arcsin + C.

Оба указанных способа приводят к гомут что Б квадратном трёхчлене исчезает слагаемое, содержащее первую степень переменной.