1.8. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Теорема 4.

1) Если D > 0, то

2) Если D = 0, то .

3) Если D < 0, то нельзя разложить на линейные множители, используя в качестве коэффициентов этих линейных множителей вещественные числа.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3. .

Укажем и другие связи между корнями и коэффициентами квадратного трехчлена.

Теорема 5. (Виета)

Если , - вещественные корни уравнения , то

Теорема 6. (Обратная теорема Виета)

Если , удовлетворяют условиям системы:

то , корни уравнения .

Часто встречаются задачи, в которых требуется выяснить взаимное расположение какого-либо числа и корней квадратного трехчлена на числовой оси.

Следующая теорема позволяет существенно упростить решение подобного рода задач.

Теорема 7.

Пусть , - вещественные корни уравнения число.

Для того, чтобы	Необходимо и достаточно
I.
II.
III.

Место для формулы.

Докажем случай 1.

Необходимость.

Пусть , - вещественные корни уравнения

Если , то необходимо выполняются условия

Доказательство.

Так как по условию

то сложив (1) и (2) получим По теореме Виета p, то есть , что и требовалось доказать.

Перемножив (1) и (2), получим

>0

Воспользовавшись теоремой Виета:

получим , что и требовалось доказать.

Достаточность.

Пусть , - вещественные корни уравнения

Для того, чтобы оба корня были меньше числа , достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств:

Доказательство.

По условию, справедлива система:

(1)

Вновь воспользуемся теоремой Виета

тогда система (1) примет вид:

Переписав систему (3) в другом виде, получим систему (4):

Неравенство (б) означает, что числа ) имеют одинаковые знаки, а неравенство (а), что оба эти числа положительны, то есть

иначе говоря , что и требовалось доказать.