1.8. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
Теорема 4.
1) Если D > 0, то 
2) Если D = 0, то 
.
3) Если D < 0, то 
нельзя разложить на линейные множители, используя в качестве коэффициентов этих линейных множителей вещественные числа.
Пример 1. 
Пример 2. 
Пример 3. 
.
Укажем и другие связи между корнями и коэффициентами квадратного трехчлена.
Теорема 5. (Виета)
Если 
, 
- вещественные корни уравнения 
, то
Теорема 6. (Обратная теорема Виета)
Если 
, удовлетворяют условиям системы:
то 
, 
корни уравнения .
Часто встречаются задачи, в которых требуется выяснить взаимное расположение какого-либо числа и корней квадратного трехчлена на числовой оси.
Следующая теорема позволяет существенно упростить решение подобного рода задач.
Отметим, что для уменьшения числа разбираемых различных случаев мы переходим к рассмотрению приведенного квадратного уравнения, которое получается после деления всех коэффициентов уравнения на старший коэффициент a.
Теорема 7.
Пусть , - вещественные корни уравнения 
число.
| Для того, чтобы | Необходимо и достаточно |
I. 
|  |
II. 
|  |
III.  |  |
Место для формулы.
Докажем случай 1.
Необходимость.
Пусть , - вещественные корни уравнения 
Если 
, то необходимо выполняются условия
Доказательство.
Так как по условию
то сложив (1) и (2) получим 
По теореме Виета 
p, то есть 
, что и требовалось доказать.
Перемножив (1) и (2), получим
>0
Воспользовавшись теоремой Виета:
получим 
, что и требовалось доказать.
Достаточность.
Пусть , - вещественные корни уравнения
Для того, чтобы оба корня были меньше числа 
, достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств:
Доказательство.
По условию, справедлива система:
(1)
Вновь воспользуемся теоремой Виета
тогда система (1) примет вид:
Переписав систему (3) в другом виде, получим систему (4):
Неравенство (б) означает, что числа 
) имеют одинаковые знаки, а неравенство (а), что оба эти числа положительны, то есть
иначе говоря , что и требовалось доказать.