1.9. Задачи

Обозначим через , корни квадратного трехчлена (a-1) Найти все а, при которых оба корня больше 1.

Решение.

а) Если а=1, то уравнение -3x + 7 = 0 имеет только один корень, поэтому

б) При воспользуемся пунктом II теоремы 7, который позволяет сразу записать:

				1 1

Ответ. .

2. Найти все значения , при которых корни уравнения больше .

Решение.

Воспользовавшись пунктом II теоремы 7 получаем:

Ответ. a < -2.

3. Найти все значения , при которых оба корня квадратного уравнения будут меньше 1.

Решение.

Уравнение будет квадратным только если . В этом случае оно равносильно уравнению:

Согласно пункту 1 теоремы 7 получаем, что

colspan=8>

				1				3
															3
										1
			1

Ответ. .

Иногда применение теоремы 7 вызывает трудности, так как возникают неравенства третьей или более высокой степени. Тогда, скорее всего, можно выражения для корней исходного квадратного трехчлена получить в виде рациональных функций параметра.

Иными словами:

Если применение теоремы 7, вызывает алгебраические трудности, стоит проверить, не является ли дискриминант рассматриваемого квадратного уравнения полным квадратом. Если дискриминант является полным квадратом, то нужно попытаться выписать выражения для корней и продолжить решение задачи.

4. При каких значениях а все корни уравнения

3a удовлетворяют условию

1) Заметим, что если , то уравнение имеет единственный корень , и число 0 удовлетворяет условию задачи.

2) Если , то

Заменим , тогда

- данное выражение есть полный квадрат! Теперь легко вычислить:

Условие задачи будет выполнено, если справедлива система:

							0

Сравним числа из промежуточных ответов:

пусть верно;

пусть верно.

Пересечение ответов является множество:

Ответ.