§1.14. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1

Первую половину прямолинейного участка пути турист прошел со скоростью и1 = 4,8 км/ч, а вторую половину — со скоростью 1>2 = 3,6 км/ч. Чему равна средняя скорость движения туриста на всем участке пути?

2=Vi

2 V2*2

Решение.

Обозначим весь путь, пройденный туристом, буквой I (рис. 1.39), Рис. 1.39

а время, за которое этот путь пройден, — буквой t. Тогда, согласно определению, средняя скорость туриста на всем пути равна

v=\. (1.14.1)

Время t складывается из времени t^ прохождения туристом I

первой половины пути

tl = ^— и времени t2 прохождения им

I Zvl J 't = 2 2j)

второй половины пути І І + 2> і = t + t = -I- = 1 * 12 2v1 2v2 2Viu2 ¦

Подставляя это выражение для времени t движения туриста в формулу (1.14.1), получим:

_ 2и^и2

v = ; ~ 4,1 км/ч.

i>i + v2

Задача 2

Координаты точки при равномерном прямолинейном движении на плоскости XOY за время t = 2 с изменились от начальных значений л:0 = 5 м, у0 = 7 м до значений х = -3 м, у = 1 м. Найдите модуль скорости точки. Изобразите вектор скорости на рисунке.

Решение. Для нахождения модуля скорости надо знать проекции скорости на оси координат. Из уравнений х = х0 + vxt и У = У о + vyt находим обе проекции скорости:

* _ и / у ~ y0 о ,

vx = —-— = -4 м/с, vy = —— = -3 м/с.

Определим модуль скорости (см. § 1.12): I/.M

X, м А В

8 і, с

1

Рис.

-З

О

5 х, м

Рис. 1.41

Положение точки в начальный и конечный моменты времени, ее траектория и вектор скорости изображены на рисунке 1.40.

Упражнение 2

Координаты точки при равномерном прямолинейном движении на плоскости XOY за время t = 2 с изменились от начальных значений х0 = -3 м и у0 = -2 м до значений х = 5 ы и у = 6 м. Найдите модуль и направление скорости точки. Постройте траекторию и укажите направление скорости на рисунке.

Точка М совершает движение на плоскости XOY. Координаты точки в зависимости от времени изменяются так:

х = -4 м/с • t, у = 6 м + 2 м/с • t.

Запишите уравнение траектории у = у(х) точки М. Найдите начальные координаты движущейся точки и ее координаты через 1 с после начала движения.

3. На рисунке 1.41 изображен график зависимости координаты от времени, когда точка движется вдоль оси X. Опишите характерные особенности движения точки: в каких направлениях двигалась точка относительно оси X в различные интервалы времени; в какой момент времени точка была в начале координат; чему равня-лись проекции и модули скоростей за отдельные интервалы времени? Постройте графики проекции и модуля скорости, а также пути в зависимости от времени. Vx, м/с 4

s

В

A

D

О

t

0

2

5 f,c

Z -2 Рис. 1.42

Рис. 1.43 Может ли график зависимости пути от времени иметь вид, пред-ставленный на рисунке 1.42?

На рисунке 1.43 представлен график зависимости от времени проекции скорости точки, движущейся вдоль оси X. Начертите графики координаты и пути в зависимости от времени. Начальная координата точки х0 = -8 м.

Один локомотив прошел первую половину пути I со скоростью иj = 80 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью v2 — 40 км/ч. Другой локомотив шел половину времени t со скоростью v1 = 80 км/ч, а половину времени — со скоростью и2 = 40 км/ч. Найдите средние модули скоростей обоих локомотивов.

По шоссе со скоростью Uj = 16 м/с движется автобус. Человек находится на расстоянии а = 60 м от шоссе и на расстоянии Ъ = 400 м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек, чтобы оказаться в какой-либо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше него? Человек может бежать со скоростью v2 = 4 м/с.

8. Лодку тянут за веревку с крутого берега с постоянной по модулю скоростью д. Найдите зависимость модуля скорости и лодки от угла а между веревкой и горизонтальным направлением (рис. 1.44).