4.2. Примеры решения задач

Пример 1. В опыте Юнга экран отстоит от когерентных источников света на 1 м, а пятая светлая полоса на экране удалена на 1,5 мм от центра интерференционной картины. Найти угловое расстояние до соседних светлых полос.

Дано: L = 1 м; k = 5; l = 1,5?10^–3 м.

Найти: Da_max.

Решение. В точке О на экране (центр интерференционной картины, рис. 4.1) будет максимальная освещенность, так как она равноудалена от источников света S₁ и S₂ и разность хода лучей равна нулю. В произвольной точке экрана М максимум освещенности будет наблюдаться, если разность хода S₁М и S₂М равна целому числу длин волн:

где DL – оптическая разность хода когерентных лучей; l – длина световой волны; k – номер светлой полосы (центральная светлая полоса принята за нулевую).

Рис. 4.1. Схема опыта Юнга

Разность хода лучей

где l – расстояние от центральной светлой полосы до k-й полосы; d – расстояние между источниками света; L – расстояние от источников света до экрана.

Отсюда

Угловое положение интерференционной полосы на экране определяется углом a. Из рис. 4.1 видно, что или ввиду малости a

Угловое расстояние между соседними светлыми полосами

Так как получим

Ответ: угловое расстояние до соседних светлых полос – 3?10^–4 радиан.

Пример 2. Вычислить длину волны де Бройля электрона, движущегося со скоростью (с – скорость света в ваку­уме).

Дано:

Найти: l.

Решение. Длина волны де Бройля для микрочастиц определяется формулой

где h = 6,62 ? 10^–34 Дж?с – постоянная Планка; Р – импульс частицы.

При движении частиц со скоростями, близкими к скорости света в вакууме, масса частицы зависит от скорости, поэтому

где m – релятивистская масса частицы.

Зависимость массы от скорости в теории относительности выражается соотношением

где m₀ – масса покоя электрона; u – скорость движения частицы.

Следовательно,

По условию задачи скорость движения электрона равна 0,75с.

Тогда

где – комптоновская длина волны.

Учитывая это, получаем

Значение l_с находим из таблицы или вычисляем по формуле Окончательно

Ответ: длина волны де Бройля электрона – 2,25 пм.

Пример 3. Сколько атомов радиоактивного натрия Na²⁴ распадается за 10 ч и за 0,01 с, если его масса 2 мг, а период полураспада Т = 14,8 ч?

Дано: m = 2 мг = 2?10^–6 кг; t₁ = 10 ч; t₂ = 0,01 с; А = 24 кг/кмоль; Т = 14,8 ч = 5,33?10⁴ с.

Найти: DN₁; DN₂.

Решение. Число DN атомов, распавшихся за некоторый промежуток времени Dt, можно выразить равенством

где N₀ – начальное число атомов (при t = 0); N – число атомов, не распавшихся к моменту времени t = Dt.

Число атомов, не распавшихся к моменту времени t, выражается законом радиоактивного распада:

где l – постоянная радиоактивного распада.

С учетом этого равенства можно записать

Преобразуем в этой формуле выражение

так как

где T – период полураспада.

Тогда

Число атомов N₀, содержащихся в некоторой массе m вещества, равно произведению числа Авогадро на число килограмм-атомов вещества,

Следовательно,

Для t₁ = 10 ч получим

В случае t₂ учтем, что тогда

Подставив сюда числовые значения величин, получим

Ответ: за 10 ч распадается 1,88?10¹⁹ атомов, за 0,01 с – 6,52?10¹² атомов.